专题13导数的应用--函数的极值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测原卷版.pdfVIP

专题13导数的应用--函数的极值问题5题型分类

1、函数的极值

函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f(x)f(x)，则f(x)是函数的一个极大值，

00

y=f(x)xf(x)f(x)f(x)

记作极大值0．如果对附近的所有点都有，则是函数的一个极小值，记作

000

y极小值=f(x0)．极大值与极小值统称为极值，x0为极值点．

求可导函数f(x)极值的一般步骤

1f(x)

（）先确定函数的定义域；

¢

2f(x)

（）求导数；

3f¢(x)=0

（）求方程的根；

4f¢(x)f¢(x)=0

（）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那

么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=f(x)在

这个根处取得极小值．

①f(x)xxf¢(x)=0x

注：可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧

0000

¢

与右侧，f(x)的符号导号．

②f¢(x0)=0是x0为极值点的既不充分也不必要条件，如f(x)=x3，f¢(0)=0，但x0=0不是极值点．另外，

极值点也可以是不可导的，如函数f(x)=x，在极小值点x0=0是不可导的，于是有如下结论：x0为可导函

数f(x)的极值点Þf¢(x0)=0；但f¢(x0)=0Þx0为f(x)的极值点．

（一）

函数极值、极值点的辨识

解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上

x

为正，哪个区间上为负，在哪个点处与轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负

值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得