《角平分线中常用的作辅助线的方法》专题课件.pptx

专题第十三章全等三角形角平分线中常用的作辅助线的方法

解：如图，在AC上截取AE＝AB，连结ED.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD.在△BAD和△EAD中，AD＝AD，∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，AC＝AB＋BD，∠C＝30°.求∠B的度数．1

∴△BAD≌△EAD(S.A.S.)，∴∠B＝∠AED，BD＝ED.∵AC＝AB＋BD，AC＝AE＋EC，∴BD＝EC，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠C＝30°，∴∠AED＝∠EDC＋∠C＝60°，∴∠B＝60°.

图中所作辅助线相当于将△BAD沿AD翻折得到△EAD.【点拨】

【2023·河南实验中学模拟】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.2

证明：如图，连结BF.∵F是△ABC的角平分线的交点，∴BF也是角平分线，即BF平分∠ABC.∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°.

?

在△EMF和△DNF中，∠EMF＝∠DNF，∠MEF＝∠NDF，MF＝NF，∴△EMF≌△DNF(A.A.S.)，∴FE＝FD.

如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2AE.3

证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F.∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°.∵BD平分∠ABO，∴∠ABE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE(A.S.A.)，∴AE＝FE，∴AF＝2AE.

∵∠AOF＝∠BEF＝90°，∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°，∴∠OAF＝∠OBD.又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，∴△AOF≌△BOD(A.S.A.)，∴AF＝BD，∴BD＝2AE.

如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线．求证：BE＋CFEF.4

证明：如图，在AD上截取DH＝BD，连结EH，FH.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝DH.∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.又∵DE＝DE，∴△BDE≌△HDE(S.A.S.)，∴BE＝HE.同理可证△CDF≌△HDF(S.A.S.)，∴CF＝HF.在△HEF中，∵HE＋HFEF，∴BE＋CFEF.