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全等三角形创新题

图1B

图1

B

C

A

一、实际应用型

例1：(西宁市)如图1，一块三角形模具的阴影部分已破损．只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具的形状和大小完全相同的模具？请简要说明理由．

分析：本题源于生活实际，可以利用全等三角形的知识加以解决.

解：只要度量残留的三角形模具片的的度数和边的长．因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）．

评注：这道题考得新颖，因为它就是我们生活中的事情，充分体现了数学来源于生活又用于解决生活实际问题的理念，这也是新课程标准所提倡的.

二、操作探索型

例2：（河南省）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图2，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

图2图3小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图2的分析，证明了△ABQ≌△

图2

图3

分析：这是一道操作探索型试题，解题时需先通过观察、测量，探求猜想出BQ与CP满足的数量关系，再利用全等三角形的知识进行证明．本题小亮已探求得出BQ=CP，只须给出证明即可.

解：∵∠QAP=∠BAC，

∴∠QAP+∠PAB＝∠BAC+∠PAB，

即∠QAB＝∠PAC，

又∵AQ=AP，AB=AC，

∴△ABQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=CP．

评注：此类试题注重考查同学们对基础知识的掌握，以及动手操作能力和探索精神，已逐渐成为中考的热点题型．

ABCD

A

B

C

D

E

F

图4

例3：（天门市）如图4，已知AE＝CF，∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件__________(只需写一个)．

分析：这是一道条件开放型试题，命题中已给出结论，但题设的条件不充分，需从不同的角度去寻找使这个结论成立的条件，正确理解、灵活运用三角形全等的条件是求解本题的关键.

解：由AE＝CF可得AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，又已知∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，可根据“SAS”添加AD＝CB，或根据“AAS”添加∠D＝∠B，或根据“ASA”添加∠AFD＝∠CEB等条件中的任何一个．

图5评注：这种题型具有答案不唯一的特点，结构较新，

图5

例4：（南宁市）如图5，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．

（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；

（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．

分析：本题属于结论开放型试题，命题中提供一定的条件，但满足条件的结论不唯一.解题时要综合分析已知条件，由条件提示我们证哪两个三角形全等更简单，还要注意思考问题的全面性，寻找的时候要做到不重不漏.

解：（1）图中的全等三角形有：

△BDE≌△CDF，△DEA≌△DFA，△ABD≌△ACD．

（2）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC＝90°,

∵点D是BC的中点，

∴BD=CD，

又∵BE=CF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．

评注：本题的难度不大，却令人颇感新意，可以鼓励同学们多角度、多层次、多侧面地思考问题，体现了发展求异思维的要求，值得同学们重视.