中考数学二轮培优复习专题16 填空题重点出题方向圆中的计算专项训练（解析版）.docVIP

专题16填空题重点出题方向圆中的计算专项训练（原卷版）

模块一中考真题集训

类型一垂径定理

1．（2022?青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为103m

思路引领：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．

解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，

∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，

∴CD⊥AB，AC＝BC=12AB＝2

在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，

∴22+（6﹣r）2＝r2，

解得r=10

即⊙O的半径长为103m

故答案为：103

总结提升：本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．（2022?长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为7．

思路引领：根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．

解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，

∴OD＝CD，

∵OC⊥AB，

∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，

在△AOD和△BCD中，

OD=CD∠ADO=∠BDC

∴△AOD≌△BCD（SAS），

∴BC＝OA＝7．

故答案为：7．

总结提升：本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理内容．

3．（2022?自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为26厘米．

思路引领：根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．

解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

由题意可得：OC⊥AB，AC=12

设镜面半径为x厘米，

由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，

∴x＝26，

∴镜面半径为26厘米，

故答案为：26．

总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．

4．（2022?上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为400π.（结果保留π）

思路引领：根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．

解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，

∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，

∴AD＝BD=12AB=12（AC+

∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，

在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，

在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，

∴S⊙O＝π×OB2＝400π，

故答案为：400π．

总结提升：本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．

5．（2022?宁夏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB＝10，AB＝16，则cosB＝45

思路引领：根据垂径定理得BD=12

解：∵半径OC垂直弦AB于点D，

∴BD=12

∴cosB=BD

故答案为：45

总结提升：本题主要考查了垂径定理，三角函数的定义，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

类型二垂径定理的应用

6．（2022?荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

思路引领：设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△

解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，

设球的半径为rcm，

由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），

由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（

在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，

即62+（12﹣r）2＝r2，

解得：r＝7.5，

即球的半径为7.5cm，

故答案为：7.5．

总结提升：本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．

7．（2022?黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是90°．

思路引领：根据已知，列出关于α，β的