中考数学二轮培优复习专题31中考命题核心元素有关中点问题（解析版）.docVIP

专题31中考命题核心元素有关中点问题（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

模型一倍长中线

【模型解读】当已知条件中出现三角形中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题．解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

基本图形：

典例1（（2022?南宁模拟）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，可根据SAS证明△ABD≌△ECD，则AB＝EC．

【类比探究】如图②，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，点G是EF的中点，求中线DG的取值范围；

【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线．试探究AB，AD，DC之间的等量关系，并证明你的结论．

思路引领：【类比探究】结论：2＜DG＜5．延长DG至H，使GH＝DG，连接FH，证明△DGE≌△HGF（SAS），再依据DF﹣FH＜DH＜DF+FH，即可得出结论．

【拓展应用】结论：AD＝AB+DC．证明△CEF≌△BEA（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题．

【类比探究】解：如图②，延长DG至H，使GH＝DG，连接FH，

∵点G是EF的中点，

∴EG＝FG，

在△DGE和△HGF中，

EG=FG∠DGE=∠HGF

∴△DGE≌△HGF（SAS），

∴FH＝DE＝3，

在△DFH中，DF﹣FH＜DH＜DF+FH，

∴7﹣3＜DH＜7+3，

∵DH＝2DG，

∴4＜2DG＜10，

∴2＜DG＜5；

【拓展应用】解：结论：AD＝AB+DC．

理由：如图③中，延长AE、DC交于F，

∵AB∥CD，

∴∠CFE＝∠EAB，

∵点E是BC的中点

∴CE＝EB，

∵∠CEF＝∠AEB，

∴△CEF≌△BEA（AAS），

∴AB＝CF．

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠EAB，

∵∠EAB＝∠CFE，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵DF＝DC+CF＝DC+AB，

∴AD＝AB+DC．

总结提升：本题属于四边形综合题，主要考查了是全等三角形的判定和性质、三角形中线和角平分线，三角形三边关系等，合理添加辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．

针对训练

1．（2020?贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是（）

A．16 B．163 C．8 D．83

思路引领：延长CD到H，使DH＝CD，由线段中点的定义得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，根据三角形的面积公式计算，得到结论．

解：∵DC⊥BC，

∴∠BCD＝90°，

∵∠ACB＝120°，

∴∠ACD＝30°，

延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，

∵D为AB的中点，

∴AD＝BD，

在△ADH与△BCD中，

CD=HD∠CDB=∠HDA

∴△ADH≌△BCD（SAS），

∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，

∵∠ACH＝30°，

∴CH=3AH＝43

∴△ABC的面积＝△ACH的面积=12×4×43

故选：D．

总结提升：本题考查的是全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

模型二中位线

【模型解读】当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时，也常考虑构造中位线．

基本图形：

典例2如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．

思路引领：根据正方形性质AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，求出∠GAB＝∠EAC，证出△BAG≌△EAC，再根据三角形中位线求出即可．

证明：连接BG和CE交于O，

∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，

∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，

∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，

∴∠GAB＝∠EAC，

在△BAG和△EAC中，

AB=AE∠BAG=∠EAC

∴△BAG≌△EAC（SAS），

∴BG＝CE．

∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，

∴MQ=12CE，QN=

∵BG＝CE，

∴QN＝MQ．

总结提升：本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据正方形性质AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC．

针对训练

1．（2022春?凤翔县期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，