2025年高考数学一轮复习拔高点突破解析—柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（新教材新高考）.pdfVIP

2025年高考数学一轮复习拔高点突破解析—柯西不等式、反柯西不等式与

权方和不等式（新教材新高考）

1、柯西不等式（Cauchy不等式）

（1）二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,dR，都有(acbd)(ab)(cd)22222．

2222222

（2）元柯西不等式：(aaa)(bbb)(ababab)，取等条件：

n

12n12n1122nn

abba

或（）．

iiiii1,2,,n

2、Aczel不等式（反柯西不等式）

222222

设a,a,,a；b,b,,b均为实数，aaa0或bbb0，则有

12n12n12n12n

2222222ab

(aaa)(bbb)(ababab)．当且仅当，成比例时取等．



12n12n1122nnkk

3、权方和不等式

（1）二维形式的权方和不等式

222ab

对于任意的a,b,x,y0，都有ab(ab)．当且仅当时，等号成立．



xyxyxy

（2）一般形式的权方和不等式

am1am1am1(aaa)m1

a0b012n12nab

若i，i，m0，则mmmm，当ii时等号成立．

bbb(bbb)

12n12n

题型一：柯西不等式之直接套公式型

【例】已知且xyz1则222的最小值是（）

1x,y,zR