晶格振动声子.ppt

令或（3.2-22）利用式（6.2-16）及正交化条件，则式（6.2-11）的势能表达式变为（6.2-23）又由于，则动能表示式成为（6.2-24）其中利用了式（6.2-5）正交条件。如果及为复数矩阵，则变换可写为（6.2-25）式中。这个变换称为幺正变换。（6.2-26）由此可见，可以选为质点系的正则坐标；而则为与之对应的正则频率。第27页,共54页，星期六，2024年，5月§3.2.2晶格振动的正则坐标根据质点系微振动的正则坐标，可以分析晶格振动的正则坐标。为了简单起见，我们先讨论一维布喇菲格子和一维复式格子的情形，然后再讨论三维复式格子的情形。一、一维布喇菲格子和一维复式格子的情形1．一维布喇菲格子的情形首先，我们以一维布喇菲格子为例，来说明它的晶格振动等价于N个独立谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动的频率。由于周期性的边界条件，波矢取分立的不同值，所以晶格中每一原子的振动是一些独立振动模式的迭加。于是，任意格点在时刻的位移应表示为（6.2-27）第28页,共54页，星期六，2024年，5月式中为t时刻振动模式为q的振幅；，而L所取的值为，；代表一些独立的模式（q取正代表前进的简谐波，q取负代表后退的简谐波）。显然式（3.2-27）是具有周期的函数的傅立叶展式。由于位置变量局限于N个点，展式只包含N项，N也就是一维晶体的原胞数。证明的正交性，即证明（3.2-28）式（3.2-28）所表示的意义是：按状态求和，只要看一个格点就行了，每个格点的独立状态总数是N，换句话说，独立状态总数就是原胞总数。同样可以证明（3.2-29）式（3.2-29）表示的意义是：按格点求和只要看一种状态，格点总数也就是原胞总数。第29页,共54页，星期六，2024年，5月一般而言，晶格中的格波可以展为各种独立振动模式的线性迭加，即把展为（3.2-30）式中称为波矢的振动模式的正则坐标（又称简正坐标），它表示了格波的振幅。引入正则坐标后，应用式（3.2-28）和式（3.2-29），一维简单晶格的势能可表示为（3.2-31）第30页,共54页，星期六，2024年，5月（3.2-32）其中，正是一维布喇菲格子的色散关系。再把式（3.1-7）代入上式，得到