泛函分析第二章.pptVIP

第一节赋范空间的基本概念

一.赋范空间的定义与基本性质

定义：设X是数域K上的线性空间,:X满足：

x,yX,αK,

1)x0;x0x0;非负性

2)αxαx;齐次性

3)xyxy;三角不等式

则称是X上的一个范数,X上定义了范数称为

赋范线性空间，记为X，.有时也简记为X.

命题：设X,是赋范线性空间,定义

d(x,y)xy,x,y

则(X,d)是距离空间.

证：x,y,zX,

(i)d(x,y)xy0;

d(x,y)0xy0xy;

(ii)d(x,y)xyyxd(y,x);

(iii)d(x,y)xyxzzyd(x,z)d(z,y).

所以d是X上的距离.

按dx,yxy定义的距离称为由范数诱导的距离.

定义：设是赋范线性空间.若

X{xn}X,xX,

limxnx0,

n

则称收敛于，记为

{xn}x

或

limxnxxnx(n).

n

定义：完备的赋范空间称为Banach空间.



考虑.记若使得

xkSnx1x2xn,sX,

n1



则称收敛且

Sns,xk,xks.

k1k1

定理：设X,是赋范空间,则

1)xnxxnx.

αααα

2)xnx,ynyxnynxy;n,xnxnxnx.

证：设，则由

1xnx

及得

xxxnxnxnxnxx

xnxxnx.

由此立得

xnx.

αααα

2)xnx,ynyxnynxy;n,xnxnxnx.

证由可推得

:2)(xnyn)(xy)xnxyny

xnynxy.

αααααα

nxnxnxnxnxnx

ααα

nxnxnx

因收敛,由知有界，在上式中令，得

xn1xnn

αα

nxnx.

定理：设X,是赋范空间,若X是完备的且



xkx1x2xn(1)

k1

收敛，则



xkx1x2xn(2)

k1

收敛且

xkxk.