2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】

【解析】，选C.

2.函数的最小正周期是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】的最小正周期，选D.

3.（）

A.2 B.4 C. D.6

【答案】

【解析】，选C.

4.已知向量，则（）

A.2 B.1 C.0 D.-1

【答案】B

【解析】，选B.

5.双曲线的渐近线方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】

【解析】渐近线：，选C.

6.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】，选A.

7.在中，，，，则的面积为（）

A.6 B.8 C.24 D.48

【答案】

【解析】，，

，选C.

8.已知函数，若当时，，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】，时，，，

时，在上，

①，即；

②时，恒成立

③时，，即，

综上：，选B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知是抛物线的焦点，是上的点，为坐标原点，则（）

A.

B.

C.以为圆心且过的圆与的准线相切

D.当的面积为

【答案】ABC

【解析】，则，对.

，又，B对.

抛物线的定义知到的距离与到准线的距离相等，故圆心与准线相切，对.

时，错，选.

10.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（）

A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数

C.双曲正切函数是增函数 D.

【答案】

【解析】，是增函数，A对.

在单调递减，单调解析递增，B错.

是增函数，对.

，D对，选ACD.

11.下面四个绳结中，不能无损伤地变为下图中的绳结的有（）

A.B.C.D.

【答案】ABD

【解析】采用实物模型演示.左手三叶结和右手三叶结不同痕(不能无损转换)，所以中至少一个不行(因为相当于三叶结变体，它们两镜像，所以不能转换)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数，若，则_____.

【答案】e

【解析】，.

13.有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为_____.

【答案】

【解析】，三张卡片和为18有873，864，765三种情况

14.已知曲线，两条直线均过坐标原点和交于两点，和交于两点，若的面积为，则的面积为_____.

【答案】

【解析】，在和单调递增，为奇函数，

都是过原点的直线，对应的都是奇函数，则关于原点对称，关于原点对称则四边形为平行四边形，，则.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：

药物

疾病

合计

未患病

患病

未服用

100

80

服用

150

70

220

合计

250

400

(1)求；

(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为，给出的估计值；

(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？

附：，

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

解：(1)；

(2)；

(3)零假设：药物对预防疾病无效，

根据列联表中的数据可求得，

根据小概率值的独立性检验，可充分推断不成立，

在犯错误概率不超过0.01的情况下可认为药物对预防疾病有关.

16.(15分)已知数列中，，.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求的通项公式；

(3)令，证明：.

(1)证明：，

成首项为，公比为的解析等比数列.

(2)解：由(1)知，.

(3)证明：，

显然关于单调递增，且恒成立，

单调递减，关于单调递增，且，

.

17.(15分)已知函数.

(1)设，求曲线的斜率为2的切线方程；

(2)若是的极小值点，求的取值范围.

解：(1)，

，故切点为，切线方程为.

(2)为的极小值点，，，

，

①当时，，令，

此时当时，，单调递增；当时，，单调递减，

在取得极大值，舍去.

②当时，，在上单调递减，不存在极值，舍去