中考数学难点突破专题39 二次函数中的线段周长问题(解析版).docx

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专题39二次函数中的线段周长问题

【题型演练】

一、单选题

1．（2020·福建·龙海二中一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（）

A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5

【答案】A

【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式.

【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）

∴OC＝3，

∵OB＝OC＝3OA，

∴OB＝3，OA＝1，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：

a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，

解得：a＝1，b＝﹣2，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

故选：A．

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题.

2．（2022·广东·惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（????）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值；④根据二次函数图象，当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论．

【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线，则b=-2a，即2a+b=0．故①正确；

②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，

则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），

所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；

③如图所示，点A关于x=1对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点．

连接与直线x=1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是的长度．

∵B（0，3），，

∴．而

即△PAB周长的最小值是．故③正确．

④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，

则1-x1＜x2-1，

∴y1＞y2．

故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．

3．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（??）

A． B．n﹣1 C．n D．

【答案】B

【分析】令，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．

【详解】解：令a1x2＝a2x2+bx，

解得x1＝0，x2＝，

∴P的横坐标为，

∵抛物线：的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，

∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，

∵＝，

∴＝，

∴＝，

∴＝

，

∴＝，

∴＝n﹣2，

∴﹣1＝n﹣2，

∴＝n﹣1，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键．

4．（2015·江苏苏州·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为N（－1，1）．若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小，则点P的坐标为（）

A．（0，2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）

【答案】A

【详解】试题分析：因为抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过点N（－1，1），所以，解得，所以，所以顶点M为（-3,5），则点M关于y轴的对称点为（3,5），设直线N的解析式为，把点N（－1，1），点（3,5），代入得，解得，所以直线为，令x=0，则y=2，所以点P的坐标为（0，2），故选A．

考点：1．待定系数法求函数解析式；2．轴对称；3．直线与y的交点．

5．（2019·浙江·九年级阶段练习）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个判断：①当x0时，y0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x11