中考数学难点突破专题43 二次函数中的相似三角形问题(解析版).docx

Page

专题43二次函数中的相似三角形问题

【题型演练】

一、解答题

1．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；

(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或

(3)

【详解】（1）解：将代入得，

解得，

∴直线的解析式为，

将代入得，

∴点B坐标为．

将代入得：

，解得，

∴抛物线的解析式为．

（2）解：∵，

∴当时，，

此时；

当时，，

如图，当时，，

∴点B，N关于抛物线对称轴对称，

∵，

∴抛物线对称轴为直线，

∵点B坐标为，

∴点N坐标为，

∴点M坐标为；

如图，当时，，作轴于点C，

设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

解得或0（舍去），

∴点M坐标为；

综上所述，点M坐标为或；

（3）解：∵，

∴抛物线顶点坐标为，

∴翻折后顶点坐标为，

当点A为最低点时，，解得，

令，

解得，

∴．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握相似三角形的性质，通过分类讨论求解．

2．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．

(1)求二次函数的解析式；

(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)函数的最大值为5，最小值为

(3)存在，或

【分析】（1）先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算即可；

（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；

（3）存在点，设，根据相似三角形对应边成比例列得，代入数值求出m即可．

【详解】（1）二次函数的图象与轴交于点，．

，点在点的左边，．

又点A的坐标为，

由题意可得：，解得：．

二次函数的解析式为．

（2），二次函数顶点坐标为，

当时，，

当时，随着的增大而减小，

当时，，

当时，随着的增大而增大，

当时，．

当时，函数的最大值为5，最小值为．

（3）存在点，如图，设，

，且与是相似三角形的对应边，

，即：，

解得：或，

或．

【点睛】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键．

3．（2022·山东德州·统考二模）如图，抛物线经过，，三点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得，直接写出点D坐标．

【答案】(1)

(2)存在，（2，1）

(3)点的坐标为（3，1）

【分析】（1）把A、B、C坐标代入解析式即可确定出解析式；

（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，首先根据点P的位置求得点m的取值范围，然后由相似三角形的两种情况进行分类讨论；

（3）过D作y轴的平行线交AC于E．利用待定系数法求得直线的解析式为．再利用三角形面积公式列式求解即可．

【详解】（1）解：∵该抛物线过点A（4，0），B（1，0），C（0，-2），

∴将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入解析式，

得，

解得，

∴此抛物线的解析式为；

（2）解：存在．

如图，设点的横坐标为，

∵是抛物线段上一动点，

∴，

则点的纵坐标为，

当时，，．

又∵，

∴①当时，，

即．

解得，（舍去），

∴P（2，1）；

②当时，，

即．

解得，（均不合题意，舍去）

∴当时，P（2，1）．

综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）；

（3）解：如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．

过D作y轴的平行线交AC于E．

设直线AC解析式为，

将A与C坐标代入得：，

解得：，

∴直线的解析式为．

∴点的坐标为．

∴，

∴，

∴

又

∵

∴

解得，，

当时，点与点重合，不符合题意，

当t=3时，y=1，

∴点的坐标为（3，1）．

【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性