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高级中学名校试卷

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北京市朝阳区2024-2025学年高一上学期期末质量检测

数学试题

一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，，

所以.

故选：D.

2.已知命题，，则命题的否定是（）

A.， B.，

C.， D.，

【答案】A

【解析】由题意可得命题的否定为“，.

故选：A.

3.（）

A. B.4 C. D.6

【答案】D

【解析】.

故选：D.

4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】对于A，为二次函数，对称轴为，

根据二次函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增，

，所以函数在区间上递减；

对于B，根据对数函数的性质，在上单调递增，

所以在上单调递减，

，所以函数在区间上递减；

对于C，根据指数函数的性质，在单调递增，

，所以函数在区间上单调递增，

对于D，根据余弦函数的性质，在上单调递减，

，所以函数在区间上单调递减.

故选：C.

5.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由任意角三角函数定义得，故C正确.

故选：C.

6.已知，，，则，，的大小关系为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】因为，，，

所以.

故选：B.

7.设函数，则“”是“是偶函数”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当时，，，为偶函数，

当偶函数时，由，

即恒成立，

可得：恒成立，即，

所以“”是“是偶函数”的充要条件.

故选：C.

8.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（）

A0 B. C. D.1

【答案】B

【解析】由题意，得，所以，

因为，所以，则，

所以当，即时，取得最大值，且最大值为.

故选：B.

9.新闻推送涉及到信息检索，若一个关键词在个网页中出现过，则越大，的权重越小；反之亦然．在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数”，，其中是全部网页数，，．如果关键词的逆文本频率指数比关键词的逆文本频率指数大2，那么（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由题意可知，即，

所以，所以，即.

故选：D.

10.已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（）

A. B.4 C. D.

【答案】A

【解析】令，其对称轴为，

当时，，

若，当时，要使不等式对任意恒成立，

则对任意恒成立，

当时，不满足题意，所以，

且是方程的一个正根，

将代入可得，即，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：A.

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．

11.函数的定义域是______．

【答案】

【解析】由得，所以函数的定义域是.

12.已知函数，则的最小正周期是______．

【答案】

【解析】∵函数中，，

∴函数的最小正周期.

13.已知幂函数的图象经过点，则______．

【答案】

【解析】将点代入函数解析式，有，即，

所以，解得.

14.已知，，写出满足的一组，的值为______，______．

【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）

【解析】因为，则，

所以，或，

取，则或，

15.我国古代数学著作《九章算术》中给出求弧田（弓形田）面积的“弧田术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是线段的中点，在上，.设弧田的面积为，“弧田术”给出的近似值的计算公式为.若，，则______；______.

【答案】

【解析】根据题意，得，，

所以是正三角形，边上的高为，

所以，

而扇形的面积为，

所以弧田的面积为；

连接，如图，

因为是线段的中点，在上，，

则，共线，其中，，

所以，又，

所以.

16.已知函数，给出下面四个结论：

①当时，只有一个零点；

②对任意，既没有最大值，也没有最小值；

③存在实数，在上单调递增；

④若存在最小值，则的最小值为．

其中所有正确结论的序号是______．

【答案】①②④

【解析】对于①，当时，，

当时，令，即，解得（舍）或；

当时，令，即，方程无解，

所以当时，只有一个零点，故①正确；

对于②，当时，因为在单调递增，

所以，无最大值；

又因为在单调递增，所以，

又，

即，所以，无最小值，

所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确；

对于③，当时，在单调递减，在单调递增，

所以在R上不单调递增；