2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）322双曲线的简单几何性质（九大题型）.docx

3．2．2双曲线的简单几何性质

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳】 2

题型一：双曲线的简单几何性质 2

题型二：双曲线的渐近线 6

题型三：求双曲线离心率的值 8

题型四：求双曲线离心率的范围 12

题型五：直线与双曲线的位置关系 14

题型六：弦长、面积问题 17

题型七：中点弦问题 20

题型八：定点定值问题 23

题型九：最值问题 28

【重难点集训】 36

【高考真题】 51

【题型归纳】

题型一：双曲线的简单几何性质

1．（多选题）（2024·高三·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（???）

A．双曲线的一条渐近线方程为

B．椭圆和双曲线共焦点

C．椭圆的离心率

D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点

【答案】ACD

【解析】对于椭圆的方程为，可得，

对于双曲线的方程为，可得，

且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，

对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为，

所以双曲线的一条渐近线方程为，故A正确；

对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，

所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误；

对于选项C：椭圆的离心率，故C正确；

对于选项D：因为，可知双曲线的顶点在椭圆内部，

所以椭圆和双曲线的图像有4个公共点，故D正确；

故选：ACD.

2．（多选题）（2024·高二·河北保定·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（????）

A．双曲线的离心率为

B．双曲线的渐近线方程为

C．的面积为

D．直线与圆相切

【答案】ACD

【解析】不妨设直线平行于双曲线的渐近线，

从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，

设直线与直线相交于点，

联立方程组，解得，即，

又F1-c,0，结合中点坐标公式，可得

代入双曲线，可得，整理得，，

对于A，双曲线的离心率，故A正确；

对于B，双曲线的渐近线，故B错误；

对于C，的面积，故C正确；

对于D，圆心到直线的距离，

故直线与圆相切，故D正确.

故选：ACD

3．（多选题）（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（????）

A．若，则

B．若，则的面积为4

C．

D．的最小值为4

【答案】AD

【解析】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，

由双曲线可知：，

对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确；

对于B，据双曲线定义可知：，

若，则四边形为矩形，

则，所以，

即

所以，所以，

所以，故B不正确；

对于C，由双曲线的方程可知，

在中，，

又因为双曲线渐近线方程为：，所以，

所以，即，故C错误；

对于D，

当且仅当时，取到最小值为4，故D正确．

故选：AD．

4．（多选题）（2024·高三·安徽黄山·阶段练习）已知分别为双曲线的左?右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（????）

A．双曲线的离心率

B．若，则的渐近线方程为

C．若，则的渐近线方程为

D．若，则的渐近线方程为

【答案】AC

【解析】

对于A，，，，，

，，又与第二象限内的渐近线交于点，

，即，，，A正确；

对于B，由A知：，又，，

直线即为双曲线的一条渐近线，

，，又，

，，

，

，，

，整理可得：，

，，，

即，解得：，的渐近线方程为，B错误；

对于C，，，

，，

，整理可得：，即，

，，的渐近线方程为，C正确；

对于D，，，，

，

，，

，整理可得：，

，，，的渐近线方程为，D错误.

故选：AC.

题型二：双曲线的渐近线

5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左?右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为.

【答案】

【解析】由题意，得双曲线的渐近线方程为.

不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线，

则直线的方程为，联立，

解得，即.

同理，联立，解得，即，

所以.

故答案为：.

6．（2024·高二·北京·阶段练习）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则两条渐近线方程为.

【答案】

【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，

的渐近线方程为，所以，

即，所以渐近线方程为，

故答案为：.

7．（2024·高二·吉林·期末）已知双曲线，焦点到渐近线距离为3，则其渐近线方程为.

【答案】

【解析】双曲线，（），其焦点到渐近线的距离为，

，又，所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

8．（2024·高二·福建·期末）双曲线的左，右焦点，过点F2的直线l1交双曲线的右支于A、B两点，且，，