《构造全等三角形的七种常用方法》专题课件.pptx

专题第十三章全等三角形构造全等三角形的七种常用方法

典例剖析例如图，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.证明：如图，在BC上取一点F，使BF＝BA，连结EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.

在△ABE和△FBE中，BA＝BF，∠1＝∠2，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE(S.A.S.)．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.

在△EFC和△EDC中，∠6＝∠D，∠3＝∠4，EC＝EC，∴△EFC≌△EDC(A.A.S.)．∴FC＝DC.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.

解题秘方：证明线段的和差问题，常采用截长补短法，把两条较短线段中的一条补到另一条线段上，或把较长的线段截成两条线段，构造全等三角形来解决．

如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.分类训练1．

解：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.

在△ABD和△FBD中，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠ADB＝∠FDB，∴△ABD≌△FBD(A.S.A.)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CF⊥AD于点E，交AB于点F，连结DF.求证：∠ADC＝∠BDF.2．

证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G，则∠CBG＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.

在△ACD和△CBG中，∠1＝∠2，AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(A.S.A.)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠DBF＝45°.

又∵∠DBG＝90°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，BD＝BG，∠DBF＝∠GBF，BF＝BF，∴△BDF≌△BGF(S.A.S.)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.

【点方法】本题运用了补形法，通过作辅助线将△CBF补成△CBG是解题的关键．

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF.求∠EAF的度数．

解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连结AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠ABH＝90°＝∠D.在△ABH和△ADF中，AB＝AD，∠ABH＝∠D，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF(S.A.S.)．

∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，BH＝DF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.

在△AEH和△AEF中，AH＝AF，AE＝AE，EH＝EF，∴△AEH≌△AEF(S.S.S.)．∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝12∠HAF＝45°.

【点方法】图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.

4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC2AD；证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(S.A.S.)．∴AC＝EB.∵AB＋BEAE，∴AB＋AC2AD.

(2)若AB＝6，AC＝2，求AD的取值范围．解：∵AB－BEAEAB＋BE，∴AB－AC2ADAB＋AC.∵AB＝6，AC＝2，∴42AD8，即2AD4.

【点方法】本题运用倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决．

如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由．5．

解：EF＝BE＋FD.理由如下：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG.∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG(S.A.S.)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.

又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60