2025届高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ7幂函数与二次函数课时训练文含解析.docVIP

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【课时训练】幂函数与二次函数

一、选择题

1．(2024湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))，则()

A．?x0∈R，使得f(x)0

B．?x0,f(x)0

C．?x1，x2∈[0，＋∞)，使得eq\f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0

D．?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)f(x2)

【答案】B

【解析】由题得，f(x)＝eq\r(x)，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数，所以A不成立，依据单调性可知C也不成立，而D中，当x1＝0时，不存在x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)f(x2)，所以D不成立．故选B.

2．(2024黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2))，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】A

【解析】由f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α0.又f(x)＝xα为奇函数，所以α只能取－1.

3．(2024福建六校联考)若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是()

A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2

C．m＝2 D．m＝1

【答案】B

【解析】由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2.又函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2.

∴m＝1或m＝2.

4．(2024天津河东区模拟)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是()

A．－4 B．4

C．4或－4 D．不存在

【答案】B

【解析】由题意知，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0.则f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4.故当x2＝3时，f(x)取最大值为4.

5．(2024广东惠州一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()

A．f(m)f(0) B．f(m)＝f(0)

C．f(m)f(0) D．f(m)与f(0)大小不确定

【答案】A

【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m0，所以f(m)f(0)．

6．(2024湖南岳阳一模)已知函数f(x)＝x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是()

A．[－2,2] B．(－2,2]

C．[－4,2] D．[－4,4]

【答案】A

【解析】由题意知f(2)＝8，则f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得－2≤a≤2.

7．(2024云南大理一模)设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝()

A．56B．112

C．0D．38

【答案】B

【解析】由二次函数图象的性质可知，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.

8．(2024河南南阳第一中学联考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对随意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0.若a，b∈R，且a＋b0，ab0，则f(a)＋f(b)的值()

A．恒大于0 B．恒小于0

C．等于0 D．无法推断

【答案】A

【解析】∵函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.又由题易知函数f(x)在第一象限是增函数，当m＝2时，指数为4×29－25－1＝20150，满意题意，当m＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－40，不满意题意．∴幂函数f(x)＝x2015，它是定义在R上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b0，∴a－b，∴f(a)f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)0.故选A.

二、填空题

9．(2024河南百校联盟质检)若关于x的不等式x2－4x≥m对随意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．

【答案】(－∞，－3]

【解析