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专题训练：勾股定理及其验证

题型1.勾股定理中的面积问题再探究

解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.

1．（2021·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）

A．12 B．32 C．64 D．128

【答案】C

【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．

【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，

图（3）比图（2）多出8个正方形，；

图（4）比图（3）多出16个正方形，；

图（5）比图（4）多出32个正方形，；

照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：

故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．

【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

2．（2021.都江堰起航教育专题）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．

【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，

∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，

∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，

∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，∴S1=（kb）2-b2=（k2-1）b2，S2=b2，S4=a2，

在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：（ka）2+（kb）2=（k2a）2，

∴a2+b2=k2a2，∴b2=（k2-1）a2，∴S1=（k2-1）2a2，

∴S1?S4=（k2-1）2a2?a2=[（k2-1）a2]2=S22，故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键．

3．（2021·北京海淀教师进修学校附属实验学校初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（）

A．+= B． C． D．

【答案】A

分析：设直角三角形各边长为2a、2b、2c，如图所示：

【解析】

∵三角形是直角三角形，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，化简得：a2+b2=c2，

S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2；S1+S2=π（a2+b2）=πc2=S3．故选A．

考点：勾股定理．

4．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可．

【详解】解：如图1，

在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得：

∵为等边三角形，∴高为∴

∵为等边三角形，∴高为∴

∴即：解得：

在△中，∴△是直角三角形，∴故选：C．

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键．

5．（2020·浙江省初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且，则的长为（）

图1图2

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解．

【解析】如图2：

设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋