中值定理证明方法总结.ppt

例2.机动目录上页下页返回结束求证存在使设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得辅助函数如何想出来的？例3.设函数在内可导,且证明在证:取点再取异于的点对在以为端点的区间上用拉氏中值定理得(界于与之间)令则对任意即在内有界.内有界.例4.设函数在上连续,在但当时内可导,且求证对任意自然数n,必有使分析:在结论中换为得积分因所以证:设辅助函数显然在上满足罗尔定理条件,因此必有使即不定积分求积分常数法!例5.设函数在上二阶可导,且证明至少存在一点使分析:在结论中将换为得积分证:设辅助函数因在上满足罗尔定理条件,所以存在使因此在上满足罗尔定理条件,故必存在使即有不定积分求积分常数法!在上连续,在证明存在内可导,且使证:方法1.因为所证结论左边为设辅助函数由于上满足拉氏中值定理条件,且易推出所证结论成立.在例6.设方法2.令因此可考虑设辅助函数由于在上满足罗尔定理条件,故存在使由此可推得故所证结论成立.常数变易法运行时,点击“费马引理”可显示费马简介.运行时,点击“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。运行时,点击标题“三、柯西----”或“柯西”按钮,或相片,可显示柯西简介,并自动返回.一、罗尔(Rolle)定理机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理一、罗尔(Rolle)定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得机动目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理拉氏目录上页下页返回结束(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个?不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.几个中值定理的关系泰勒中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理柯西中值定理证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如,证明拉格朗日定理:要构造满足罗尔定理条件的辅助函数.方法1.直观分析由图可知,设辅助函数(C为任意常数)要证即证原函数法辅助函数方法2.逆向分析即证原函数法设同样,柯西中值定理要证*中值定理的条件是充分的,但非必要.可适当减弱.因此例如,设在内可导,且则至少存在一点使证:设辅助函数显然在上连续,在内可导,由罗尔定理可知,存在一点使即2017设012018都在02201