1.1等腰三角形（第二课时）（北师大版八年级下册数学课件）.pptx

1.1等腰三角形

(第2课时)

O上节课我们学习了证明等腰三角形的性质和等

腰三角形“三线合一”的性质，那么等腰三角形中其他的线段有什么性质呢?

○等边三角形又有什么性质特征呢?

○怎样来判定一个三角形是等腰三角形呢?

你是不是发现两腰上的中线、高线以及两底角的平

分线分别相等呢?我们可以选择其中的两个结论来证明。

请你动手画一个等腰三角形，并分别画出它两腰上

的中线、高线以及两底角的平分线。

请分别测量它们。

BC

B

B

我们选择证明等腰三角形两腰上的中线、高线相等。

【例1】已知：在△ABC中，AB=AC,BM,

CN分别是△ABC两腰上的中线。

求证：BM=CN。

证明：因为AB=AC,

所以∠ABC=∠ACB(等边对等角)。

因为AB=2BN,AC=2CM,AB=AC,所以BN=CM。

在△BMC与△CNB中，因为BC=CB,∠MCB=∠NBC,CM=BN,

所以△BMC=△CNB(SAS),所以BM=CN(全等三角形的对应边相等)。

因为CQ⊥AB,BP⊥AC,所以∠CQB=∠BPC=90°O

在△BCQ和△CBP中，因为∠QBC=∠PCB,∠CQB=∠BPC,BC=CB,

所以△BCQ=△CBP(AAS),所以CQ=BP。

【例2】已知：在△ABC中，AB=AC,CQ⊥AB,

BPLAC。

求证：CQ=BP。

证明：因为AB=AC,

所以∠ABC=∠ACB(等边对等角)。

B

通过上面的证明你是不是发现AD还是BC边上的高线呢?我们可以简单的证明一下。

已知：在等腰三角形ABC中，∠BAD=

∠CAD,BD=CD。

求证：AD⊥BC。

证明：在△ABD和△ACD中，

因为AB=AB,BD=CD,AD=AD,

所以△ABD=△ACD(SSS),

所以∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等)。又因为∠ADB+∠ADC=180°

所以∠ADB=∠ADC=90°,所以AD⊥BC。

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图示

等边三角形的

三个内角都相

等，并且每个角都等于60°

在△ABC中，大为AB=AC=BC,所以∠A=∠B=∠C=

60°

A

60°

60°60°

BC

新知探究

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的性质定理我们可以通过下面的表格来了解：

等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有“三线合一”。因此，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而底和腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴。

现在回想一下我们前面提到的问题，怎样判定一个三角形是

等腰三角形呢?上节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是不是等腰三角形呢???现在我们来证明一下!

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C。

求证：△ABC为等腰三角形。

证明：作BC边上的高AD(图略),在△ABD和△ACD中，因为∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,

所以△ABD=△ACD(AAS),所以AB=AC,所以△ABC为等腰三

角形。

新知探究

由上面的证明，我们可以得到一个等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称为“等角对等边”)。

注意：运用“等角对等边”定理的

前提条件是“在同一个三角形中”,且两条边应是这两个等角的对边。

新知探究

请思考：

从上节课到这节课证明一些结论的时候，我们都是在正向推理，那么从结论的反面是不是也能推理出正确的结论呢?

下面我们来学习一下一个新的证明方法——反证法。

定义

证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明

方法称为反证法。

用反证法证明的一般步骤

第1步：假设命题的结论不成立；

第2步：从这个假设出发，应用正确的方法，推导出与定义、基本事实、

已有定理或已知条件相矛盾的结果；

第3步：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

你是不是又多了一种证明的思路呢?

随堂练习

1.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形。求证：AE=CD。

2.把两个一样大的含30°角的直角三角尺按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个钝角。

已知：△ABC。

求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角。

随堂练习答案

1.证明：因为△ABC是等