集合的关系强化训练.docx

1.2集合的关系

知识点01：图（韦恩图）

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。

图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。

知识点02：子集

1子集：

一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集

（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)

（2）性质：

①任何一个集合是它本身的子集，即.

②对于集合，，，若，且，则

（3）图表示：

2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别

符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.

【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（）

A． B． C． D．

知识点03：集合相等

一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.?

（1）的图表示

（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关

【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（????）

A． B．

C． D．

知识点04：真子集的含义

如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;

（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)

（2）性质：

①任何一个集合都不是是它本身的真子集.

②对于集合，，，若，且，则

（3）图表示：

【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足?，则集合的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

知识点05：空集的含义

我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：

规定：空集是任何集合的子集，即;

性质：①空集只有一个子集，即它的本身，

(2)，则

和

和

和

相同点

都表示无

都是集合

都是集合

不同点

表示集合；

是实数

不含任何元素

含有一个元素

不含任何元素

含有一个元素，该元素为：

关系

或者

【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（????）

A． B． C． D．

题型01判断两个集合的包含关系

【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．

【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（）

A． B．

C． D．

【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（????）

①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤?；⑥.

A．1 B．2 C．3 D．5

【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设，，则（????）

A． B． C． D．无关

题型02判断子集（真子集）的个数

【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（????）

A．7个 B．8个 C．16个 D．15个

【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足?B的集合的个数为.

【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足?，这样的集合有（????）个

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足?的集合的个数是．

题型03求集合中子集（真子集）

【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合，同时满足如下的两个条件：

（1）；（2）若，则.

写出一个满足要求的，非空集合的个数为

【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合．

【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足?，则集合A所有可能的情形有（????）

A．3种 B．5种 C．7种 D．9种

【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若?，则B可能为（????）

A． B． C． D．

【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足?{1，2，3}的所有集合A是．

题型04空集的概念集判断

【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（????）

A． B．

C． D．

【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（??