流体力学第五章5--1讲.pptVIP

流体力学教案(第五章涡旋动力学根底)

第五章涡旋动力学根底在自然界中流体的运动，大多数都是有旋的流动。例如，在大气中的龙卷风、台风以及涡轮机内的流体运动等其它方面。但是，涡旋的形成与变化对流体运动有着重要的影响。涡旋的产生对实际工程问题有利有弊。如飞机、汽车等交通工具在行驶中，尾部产生的旋涡消耗着动能，从而形成了阻力。飞机在降落的过程中，又需要在飞机尾部形成涡旋，加大阻力使飞机减速，到达平安降落入的目的等等。

第一章己引入了涡度和速度环流的概念。实际上，流体涡度场是速度场的一个派生物理量场，它用于表示流动中的旋转特征。由流体涡度矢的定义式，有：(5-1)其中表示涡度矢。在矢量分析中，任一标量函数?的梯度再取旋度恒为零，即(5-2)

一般来讲，流体运动的速度场都包含两局部的流动状态：有涡旋运动特征的变化速度场和无旋流动的变化速度场，即：(5-3)其中：(5-4)(5-5)因此，但凡引起流场中变化的作用，也就是导致流体涡度或速度环流变化的原因，这也是本章讨论涡动力学根底的主要内容。

第5-1环流定理由式(1-42)可知，速度环流?定义为：(5-6)这首先由汤普森提出的。?虽是标量，但是其值的正负且反映了一定的方向性。一般取定封闭曲线的方向，那么顺封闭曲线方向的环流为正，反之，逆封闭曲线方向的环流为负。应用斯托克斯线面积分转换公式，有：(5-7)其中式(5-7)也称开尔文关系式，其微分形式为：(5-8)上述两式建立了涡度与速度环流之间的关系。

一、开尔文定理假设流体是理想的正压的流体在有势外力作用下，那么沿任一封闭曲线的速度环流在运动过程中恒定不变。其证明如下：对(5-6)式求微商得：(5-9)首先考虑右边积分的第二积分，由于积分路径曲线为流体质点组成的物质线，所以流动以前及以后仍构成封闭曲线，仅其形状和长短变化。

(5-10)(5-11)再利用理想流体运动的欧拉方程，即式(2-55)：(5-12)

考虑到外力有势，那么有：(5-13)流体正压，即(5-14)那么得:(5-15)其中或?=常数(5-16)

对于粘性可压流体，纳维—斯托克斯方程(2-51)为：三、环流的起源(5-17)引入流体散度和涡度，于是(5-18)那么式(5-17)可改写为：(5-19)

如果式(5-9)右端第一积分以(5-19)代入，那么有(5-20)其中上式已考虑到：式(5-20)说明引起环流变化的作用有以下三类：1.非有势力的作用；2.压力—密度力或压力梯度力的作用；3.粘性涡度扩散的影响。

b.假设流体是正压的，那么式(5-20)右端第二项积分为零。但是对于斜压流体，那么有:a.大气科学中，科里奥利力就是一个非有势力，且在气象学中必须考虑的，不可以忽略。(5-22)考虑到任一物理量的梯度再取旋度为零，那么上式右端第二项积分等于零。假设流体理想，且外力有势，那么式(5-22)可改写成为：(5-23)上式又称作皮耶克尼斯定理，它说明压力—密度力引起的环流变化。

二、亥姆霍兹定理首先引入几个概念：1.涡线的定义：在同一时刻，涡旋场中存在这样的曲线，其曲线上每一点的切线方向和该点的涡旋方向重合。2.涡面的定义：在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的每一点作涡线，那么这些涡线将组成一曲面称涡面。

3.涡管的定义：在涡旋场内取一曲线L是封闭的且不自相交的曲线，过曲线的每一点作涡线，那么这些涡线将组成一封闭曲面称涡管。a.涡面保持定理：假设流体是理想正压的，且外力有势，那么在某一时刻组成的涡面的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡面。

证明如下：初始时刻时，流体中有一涡面?，那么根据涡面的定义，涡面上的涡旋矢量在涡面法线单位矢量上的投影等于零，即(5-16-1)今在涡面上任取一封闭曲线L，由L所包围涡面的面积为?，那么根据斯托克斯定理：(5-16-2)因式(5-16-1)可知，推出在初始时刻，沿?面上任一封闭曲线L的速度环量为零。(5-16-3)

设在初始时刻以前或以后的某一时刻，组成涡面?的流体质点移动到新的位置并组成新的曲面?’，而封