北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第1章勾股定理全章复习与测试(原卷版+解析).docxVIP

第1章勾股定理全章复习与测试

【知识梳理】

一、勾股定理

1．勾股定理

如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

注意：

=1\*GB3①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．

=2\*GB3②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．

2．直角三角形斜边上的高

=1\*GB3①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．

=2\*GB3②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：，，.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

三、勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形

四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如）.

验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，

其中为三角形的最大边.

五.勾股定理的逆定理

1．勾股定理逆定理

如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．

注意：

=1\*GB3①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．

=2\*GB3②当满足时，是斜边，是直角．

=3\*GB3③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．

【考点剖析】

一．勾股定理（共8小题）

1．（2022秋?两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．（2022秋?巴中期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）

A．10 B．13 C．15 D．26

3．（2022秋?辉县市校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，记△ABF、△BEC，△ADC的面积分别是S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是（）

A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2+S3

4．（2023春?渝北区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，BD平分∠ABC，过A点作AE∥BC交BD于点E，EF⊥BC于点F．若AB＝7，则EF的长为．

5．（2022秋?阳城县期末）如图，已知Rt△ABC的三边长分别为6、8、10，分别以它们的三边作为直径向外作三个半圆，则图中阴影部分的面积为．

6．（2022秋?秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则BD的长是．

二．勾股定理的证明（共6小题）

7．（2022秋?和平区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．（2022秋?郸城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）

A．