北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第2章实数全章复习与测试(原卷版+解析).docxVIP

第2章实数全章复习与测试

【知识梳理】

一、平方根和立方根

类型

项目

平方根

立方根

被开方数

非负数

任意实数

符号表示

性质

一个正数有两个平方根，且互为相反数；

零的平方根为零；

负数没有平方根；

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零；

重要结论

二、实数

有理数和无理数统称为实数．

1.实数的分类

要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；

③有特定结构的数，如0.1010010001…

（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

三、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质

（1）；

（2）；

（3）.

要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.

（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.

（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与的异同

不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；

=，=（）.

相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.

3.最简二次根式

1）被开方数是整数或整式；

2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

四、二次根式的运算

1.乘除法

（1）乘除法法则：

类型

法则

逆用法则

二次根式的乘法

积的算术平方根化简公式：

二次根式的除法

商的算术平方根化简公式：

要点诠释：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

要点诠释：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

【考点剖析】

一．平方根（共2小题）

1．（2023?常德三模）的平方根是（）

A．4 B．±4 C．±2 D．2

2．（2023春?滨城区期中）已知：2m+1和m﹣4是正数a的两个平方根，则a﹣m的值是．

二．算术平方根（共2小题）

3．（2023春?汉阳区期末）若3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根，则的值为（）

A． B． C． D．

4．（2023?韩城市一模）9的算术平方根是（）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．

三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）

5．（2023春?常州期末）已知，则a+b的值是（）

A．1 B．3 C．5 D．6

6．（2023春?雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（）

A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1

7．（2022秋?成都期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（）

A． B． C．±5