2025年人教A版高中数学必修第二册同步考点梳理与培优训练第四章数列第2节等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和习题课.docVIP

第四章4.24.2.2第2课时

A组·基础自测

一、选择题

1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(A)

A．15 B．16

C．49 D．64

[答案]A

[解析]a8＝S8－S7＝82－72＝15.

2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(C)

A．12 B．16

C．9 D．16或9

[答案]C

[解析]an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，

由an180得n13且n∈N*，

由n边形内角和定理得，

(n－2)×180＝n×120＋eq\f(n?n－1?,2)×5.

解得n＝16或n＝9，

∵n13，∴n＝9.

3．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽出的是(B)

A．a6 B．a8

C．a9 D．a10

[答案]B

[解析]据题意S11＝55＝11a6，∴a6＝5.

又a1＝－5，∴公差d＝eq\f(5－?－5?,6－1)＝2.

设抽出的一项为an，则an＝55－46＝9.

由9＝－5＋(n－1)·2，得n＝8.

4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝eq\f(Sn,n)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn＋3n)))的前10项和是(C)

A．eq\f(2,5) B．eq\f(9,20)

C．eq\f(5,11) D．eq\f(10,11)

[答案]C

[解析]由an＝eq\f(Sn,n)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))得Sn＝nan－2neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))an－1－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))，

整理得an－an－1＝4，

所以{an}是公差为4的等差数列，又因为a1＝1，

所以an＝4n－3，从而Sn＋3n＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋an)),2)＋3n＝2n2＋2n＝2neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))，

所以eq\f(1,Sn＋3n)＝eq\f(1,2n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，

所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn＋3n)))的前10项和为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,11)))＝eq\f(5,11).

故选C.

5．数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n项和为10，则项数为(C)

A．11 B．99

C．120 D．121

[答案]C

[解析]因为an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，

所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1，

令eq\r(n＋1)－1＝10，解得n＝120.

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为(D)

A．61 B．62

C．65 D．67

[答案]D

[解析]对n分情况讨论当n＝1时，S1＝a1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，

所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，n＝1，,2n－5，n≥2，))

由通项公式得a1a20a3a4…a10，

所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋…＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67.

二、填空题

7．已知Sn为数列{an