2025年人教A版高中数学选择性必修第二册同步考点梳理与培优训练第四章数列第4节数学归纳法.pptxVIP

第四章数列;4.4*数学归纳法;必备知识?探新知;素养目标?定方向;

1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题．

1．了解数学归纳法的原理．(数学抽象、逻辑推理)

2．掌握数学归纳法的步骤．(逻辑推理)

3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理);必备知识?探新知;数学归纳法;想一想：用数学归纳法证明命题的关键是什么？

提示：步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．;[答案]D;[解析]表达式的左边是从1开始加到a3n＋1结束，

所以验证n＝1成立时等式左边计算所得项是1＋a＋a2＋a3＋a4.

故选D.;关键能力?攻重难;题|型|探|究;∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()

A．过程全部正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

[答案]D

[解析]在证明n＝k＋1不等式也成立时，没有应用n＝k时的假设，即没有用到归纳递推，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D.;[规律方法]数学归纳法的三个关键点

(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.

(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．

(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．;对点训练?;[答案]C;题型二;[规律方法]用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形．;用数学归纳法证明：;题型三;[规律方法]用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：

(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．

(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．;对点训练?;题型四;[规律方法]通过此例可看出观察、归纳、猜想、证明的思想方法的基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明．;对点训练?;易|错|警|示;[误区警示]错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．

[正解](1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；

(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，

那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，等式对任意n2，n∈N*都成立．;[点评]在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2,3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．;课堂检测?固双基;[答案]B

[解析]验证可知n＝1,2,3,4,5,6时，此不等式左边右边，n＝7时，左边＝右边，而左边式子的值随着n的增加而增加，所以可推知n≥8时，左边右边，因此n的起始值应取8，故选B.;[答案]D;3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是()

A．P(n)对所有正整数n都成立

B．P(n)对所有正偶数n都成立

C．P(n)对所有正奇数n都成立

D．P(n)对所有自然数n都成立

[答案]B

[解析]根据数学归纳法的步骤可知，若P(n)对n＝2成立，则对n＝2＋2＝4也成立，由此可推得P(n)对所有正偶数n都成立．故选B.;5．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,