2024高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题15随机变量及其应用练习理.docxVIP

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15随机变量及其应用

1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有运用过的、3个已经运用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经运用过的球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为().

A.1220 B.

C.27220 D.

解析?“X=4”表示从盒中取了2个已经运用过的球,1个没有运用过的球,故P(X=4)=C32C

答案?C

2.已知离散型随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

3

3

1

则X的数学期望E(X)=().

A.32 B.

C.52 D.

解析?由数学期望公式可得E(X)=1×35+2×310+3×110

答案?A

3.已知随机变量X听从正态分布N(0,82),若P(X2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=.?

解析?因为μ=0,所以P(X2)=P(X-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-2×0.023=0.954.

答案?0.954

4.若随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p=.?

解析?因为随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以np=7,np(

答案?1

实力1

?求离散型随机变量的分布列

【例1】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应当提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,许多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的看法,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:

年龄/岁

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75]

频数

5

10

15

10

5

5

赞成人数

4

6

9

6

3

4

(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;

(2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.

解析?(1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为

P=C41C52·C41·C61C102+

(2)ξ的全部可能取值为0,1,2,3.

P(ξ=0)=C42C52·C62

P(ξ=1)=C41C52·C62C102+C42C

P(ξ=2)=2275

P(ξ=3)=C41C52·C42

∴ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

P

1

34

22

4

离散型随机变量分布列的求解步骤

(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义.

(2)求概率:要弄清晰随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.

(3)画表格:按规范要求写出分布列.

(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.

已知2件次品和3件正品混放在一起,现须要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品的概率;

(2)已知每检测一件产品须要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所须要的检测费用(单位:元),求X的分布列.

解析?(1)记“第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品”为事务A,则P(A)=A21A

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X=200)=A22A

P(X=300)=A33+

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)

=1-110-310=

故X的分布列为

X

200

300

400

P

1

3

3

实力2

?相互独立事务同时发生的概率

【例2】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品胜利的概率分别为23和35.现支配甲组研发新产品A,乙组研发新产品B

(1)求至少有一种新产品研发胜利的概率.

(2)若新产品A研发胜利,预料企业可获利润120万元;若新产品B研发胜利,预料企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.

解析?记E={甲组研发新产品胜利},F={乙组研发新产品胜利},由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事务E与F,E与F,E与F,E

(1)记H={至少有一种新产品研发胜利},则H=EF

于是P(H)=P(E)P(F)=13×25=

故所求的概率P(H)=1-P(H)=1-215=13

(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,

因为P(X=0)=P(EF)=13×