2024-2025学年高一数学试题（人教A版2019）321单调性与最大（小）值（九大题型）.docx

3.2.1单调性与最大（小）值

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳】 2

题型一：单调性的概念 2

题型二：函数的单调性的证明 3

题型三：求函数的单调区间 6

题型四：利用函数单调性求参数的取值范围 7

题型五：利用函数单调性的性质解不等式 8

题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 9

题型七：求函数的最值 10

题型八：抽象函数单调性的证明 12

题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 16

【重难点集训】 18

【高考真题】 29

【题型归纳】

题型一：单调性的概念

1．（2024·高一·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】选项A：任取，则，

又，所以，即，所以函数在0,+∞为减函数，故A正确；

选项B：任取，则，

又，所以，即，所以函数在0,+∞为增函数，故B错误；

选项C：任取，则，

又，所以，即，所以函数在0,+∞为增函数，故C错误；

选项D：任取，则，

又，所以，即，所以函数在0,+∞为增函数，故D错误；

故选：A.

2．（2024·高一·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，区间，设，其中，则“”是“函数在区间I上单调递增”的（????）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数在区间I上单调递增的充要条件是，当时，都有，或当时，都有，

即对与同号，也即．

故选：A．

3．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为函数在上单调递增，且，

由增函数的定义可知，当时，有，

充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，

若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.

即对实数，“”是“”的充要条件.

故选：C

4．（2024·高一·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，

所以函数是上的增函数，

函数是上的减函数，

函数，的单调性无法判断.

故选：B.

题型二：函数的单调性的证明

5．（2024·高一·江苏镇江·期中）已知函数．

(1)在坐标系中画出函数的图象；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；

【解析】（1）函数，

得，

得，

函数的图象如下：

（2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

设，

则，

因为，，，

所以，

所以函数在区间上单调递减；

设，

则，，，

所以，

所以函数在区间上单调递增.

6．证明：函数在上是严格增函数．

【解析】任取，且，

则

．

∵，∴，，

∴，即，

∴函数在上是严格增函数．

7．（2024·高一·福建漳州·期末）设函数，其中.

(1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围；

(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

【解析】（1）因为命题“，”为假命题，

所以“，”为真命题，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

（2）在区间上单调递减.证明如下：

，且，

则

，

因为，且，

所以，，，

所以，即，即，

所以在区间上单调递减.

8．（2024·高一·新疆喀什·期末）已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)试判断函数在上的单调性，并给予证明；

【解析】（1）由分式性质可知，，故函数定义域为：

（2）函数在上是增函数，证明如下：

设，，

，

因为，则，，

可得，即，

所以在上是增函数.

题型三：求函数的单调区间

9．（2024·高一·上海·随堂练习）函数y=fx在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是.

【答案】

【解析】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的，

所以此函数的增区间是.

故答案为：

10．（2024·高一·全国·专题练习）函数的单调区间为

【答案】增区间为和，无单调递减区间，

【解析】，所以的单调递增区间为和

故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间，

11．（2024·高一·上海杨浦·期末）已知函数，则f(x)的递减区间是.

【答案】

【解析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性.由题意，

当时，函数单调递减；

当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数单调递增；

综上所述，函数的单调递减区间为，

故答案为：.

题型四：利用函数单调性求参数的取值范围

12．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（?????）

A． B． C．