2025年人教A版高中数学选择性必修第二册同步考点梳理与培优训练第五章一元函数的导数及其应用第3节函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值.pptxVIP

第五章一元函数的导数及其应用;5.3导数在研究函数中的应用

5.3.2函数的极值与最大(小)值

第2课时函数的最大(小)值;必备知识?探新知;素养目标?定方向;

1．能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．

2．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．

?

1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．(直观想象)

2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．(数学抽象、逻辑推理)

3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．(逻辑推理、数学建模、数学运算);必备知识?探新知;函数的最大值与最小值的再认识;想一想：上述结论还有怎样的内涵？

提示：(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值．

常见的有以下几种情况：如图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；如图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；如图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；如图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．;练一练：如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则()

A．函数f(x)没有最大值也没有最小值

B．函数f(x)有最大值，没有最小值

C．函数f(x)没有最大值，有最小值

D．函数f(x)有最大值也有最小值

[答案]C

[解析]由函数图象可知，函数只有一个极小值点x＝1，且函数在此处取得最小值，没有最大值．;2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中___

_________是最大值，____________是最小值．;想一想：函数的极值与最值有怎样的区别与联系？

提示：(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．

(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．

(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．

(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．;练一练???已知函数f(x)＝x3－3x－1，若在区间[－3,2]上，f(x)的最大值为M，最小值为N，则M－N＝()

A．20 B．18

C．3 D．0

[答案]A

[解析]由f(x)＝x3－3x－1得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，

所以x＝1，x＝－1为函数f(x)的极值点．

因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，

所以在区间[－3,2]上，M＝f(x)max＝1，N＝f(x)min＝－19，故M－N＝20.;关键能力?攻重难;1.(1)(2023·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为();[答案](1)C;(2)①f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，

当x－1或x1时，f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0.

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．;[规律方法]求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．

特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．; (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为()

A．11 B．－70

C．－14 D．21

(2)(2024·白山高二检测)函数y＝xlnx的最小值为()

A．－e－1 B．－e;[解析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f′(x)＝3x2－6x－9，

令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3，

由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；

f(3)＝－21；f(4)＝－14；

所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.

(2)因为y＝xlnx，定义域是(0，＋∞)，;题型二;[规律方法]1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．

2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．; 已知函数f(x)＝2ex