2025年人教A版高中数学选择性必修第二册同步考点梳理与培优训练第五章一元函数的导数及其应用第3节函数的极值与最大(小)值第3课时利用导数解决与函数有关的问题.pptx

第五章一元函数的导数及其应用;5.3导数在研究函数中的应用

5.3.3利用导数解决与函数有关的问题;关键能力?攻重难;素养目标?定方向;

1．借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．

2．能利用导数解决简单的实际问题．

3．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．;

1．通过分析实际问题，理解导数的实际意义，掌握导数的几何意义，能够利用导数讨论函数的单调性、极值和最值问题，培养学生综合应用知识的能力．(逻辑推理、数学运算)

2．通过导数证明不等式以及求参数或取值范围等综合问题．(逻辑推理、数学运算)

3．能够利用导数判断函数零点的个数，由函数零点个数求参数．(直观想象、数学运算)

4．通过实际例子，体会导数在解决最优问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力．(数学建模、数学运算);关键能力?攻重难;1.给定函数f(x)＝ex－x.

(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；

(2)画出函数f(x)的大致图象；

(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数．

[解析](1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：;所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．;[规律方法]利用导数研究函数的零点，可利用导数判断函数的单调性，借助函数零点存在定理判断；另外，也可将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．;对点训练?;题型二;[规律方法]构造函数法证明不等式

一般地，待证不等式的两边都含有同一个变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题来证明，其一般步骤如下：

1．移项，使不等式的一边为0，将另一边构造为“左减右”或“右减左”的函数．

2．利用导函数研究所构造的函数的单调性．

3．借助构造函数的单调性可证结论成立．;对点训练?;题型三;令y′＝0，解得x＝30.

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20km.∴供水???建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．;[规律方法]用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：

①建立函数关系式y＝f(x)；②求y′；③令y′＝0，求出相应的x0；④指出x＝x0处是最值点的理由；⑤对题目所问作出回答．求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．;对点训练?;当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表：;题型四;(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．;[规律方法]解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．; 在半径为R的半圆内，以直径为一底边作一个内接等腰梯形，如何使其面积最大？最大面积是多少？

[解析]方法一：设上底长为2x，如图所示：;易|错|警|示;[误区警示]本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．

(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1,1]．

[答案]4;[正解]由ax3－3x＋1≥0，得ax3≥3x－1.因为x∈[－1,1]，故分离参数a，需根据x的取值进行分类讨论，讨论如下：

(1)当x＝0时，10恒成立，a可以取任意实数；;课堂检测?固双基;A．13万件 B．11万件

C．9万件 D．7万件

[答案]C;∴y′＝－x2＋81(x0)．

令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9，

∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，

∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C．;2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其容积最大，则其高应为();[答案]C;4．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.

[答案]144

[解析]设小正方形的边长为xcm，则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，即V＝4(x3－13x2＋40x)(0x5)，V′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)．;5.如图所示，两个工厂A，B