微积分1试卷（10年）浙江大学.docxVIP

《微积分I》期末试卷(2010-2011学年秋冬学期)

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浙江大学2010–2011学年秋冬学期《微积分(I)》课程期末考试试卷

1至9题及14题每题6分，10至13题每题10分.

1、求曲线ln(y+x)-cos(xy)=x上点x=0处的切线方程.

2、设y=xln(1+x),求y对x的10阶导数y(10)(x).

5、设x-1时f讨论f(x)的连续性.

6、求∫.

8、设常数a满足0a1,讨论级数的收敛性，是条件收敛，绝对收敛，还

是发散？应说明理由.

9、试将函数展开成x-2的幂级数，并写出其成立范围.

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10、设b为常数且积分dx收敛，求b的值及该积分的值.

11、设|sint|dt,(1)求S(π)及S(nπ)（n为正整数求x

12、设n-1dx,n=1,2,….(1)求an;(2)求nnan的和.

13、设f(x)在(-∞,+∞)上存在二阶导数，f(0)0,f,,(x)0,证明：(1)f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；(2)若f(x)的确有两个零点，则此两零点必反号（注：f(x)的零

点就是方程f(x)=0的根）.

14、设常数α0,积分I1=dx与I2=试比较I1与I2的大小，是

I1I2,I1I2,还是I1=I2?或者要由α而定.应说明推理过程.

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参考解答：

1、x=0时,lny=1,y=e.对方程关于x求导:

代入x=0,y=e,得y,(0)=e-1,则切线方程为y=e+(e-1)x.

解2.u=ln,v=x,un=1,2,…,10.

3

5、=0≠f在x=0处间断，在其它点处连续.

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7、∫-11(x+2|x|)21-x2dx=∫-11(x2+4x|x|+4x2)1-x2dx=10∫x21-x2dx

x=sint10∫sin2tcos2tdt=10∫(sin2t-sin4t)dt=10..(1-)=π.

8、|un|=故级数|un|发散.

绝对收敛收敛，则原级数条件收敛.

另解:级数为交错级数,令f(x)=(1+ax)x,f,(x)=1+ax+xaxlna,

=1,当x充分大时,f,(x)0,故f(n)=(1+an)n单调递增,单调递减,且=0,:nvn收敛,则原级数条件收敛.

2

即n,0x4.

10、:dx当b≠2时发散，当b=2时为零，而

则b=2，且原积分ln3.

11、(1)S(π)=∫|sint|sintdt=2,而|sint|是周期为π的周期函数，

故S(nπ)=∫0nπ|sint|sint|dt=n∫|sint|dt=2n.

(2)当nπ≤x≤(n+1)π时，S(nπ)≤S(x)≤S((n+1)π),

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而,令x→+则由夹逼准则

或an=-ndx=

13、(1):f,,(x)0,:f,(x)严格单调递增，f,(x)至多有一个零点x0,f(x)在(-∞,x0]递减,在[x0,+∞)上递增，因而f(x)至多有两个零点.设f,(0)0,由泰勒公式，

x2fx,(x≠0,ξ在0,x之间)

取有f(c)0,f,(x)f,(0)0(x0),则f(x)在(0,+∞)内有一个零点；同理，若f,(0)0,取有f(c)0,f,(x)f,(0)0(x0),则f(x)在

(-∞,0)内有一个零点；

若f