三角函数的图像与性质.docVIP

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第三节三角函数的图象与性质

[备考方向要明了]

考什么

怎么考

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性.

1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．

2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等．

3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等.

[归纳·知识整合]

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，))))k∈Z}

值域

[－1,1]

[－1,1]

R

单调性

递增区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)

递减区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)

递增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

递减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

递增区间：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)

最值

x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝1x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymin＝－1

x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1

无最值

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

对称性

对称中心(kπ，0)，k∈Z

对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z

对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)

对称轴lx＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z

对称轴lx＝kπ，k∈Z

无对称轴

周期

2π

2π

π

[探究]1.正切函数y＝tanx在定义域内是增函数吗？

提示：不是．正切函数y＝tanx在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．

2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？

提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时是奇函数．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则f(x)是()

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数

D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数

解析：选B∵f(x)＝sin(2x－eq\f(π,2))＝－cos2x，

∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．

2．(教材习题改编)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是()

A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

B．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上都是减函数

C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数

D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c