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典型例题：勾股定理及其验证

知识点1.1认识勾股定理

1)为什么叫勾股定理？

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一。是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢?我可以告诉大家，有毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。

这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。

eq\o\ac(○,1)勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

eq\o\ac(○,2)中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作《周髀算经》（公元前1000年左右的西周时期）就有关于勾股定理的记载，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

2）勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

注：a.仅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误

1．（2021·山西石楼中学八年级月考）在中，，，的对应边分别是，，，若，则下列等式中成立的是（）

A． B． C． D．

2．（2021·成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（）

A．? B．? C．? D．?

3．（2021·江苏八年级期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________．

4．（2021·云南八年级期末）如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．

5．（2021·云南昭通市·八年级期中）在中，若，，则（）

A． B． C．或 D．或

6．（2021·广东广州市第二中学八年级期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（）cm．

A．5 B．6 C． D．

7．（2021·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．

1.2勾股定理的验证

据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”的证法。

在《九章算术》一书中(约在公元50至100年间)，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦图”），用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明(下图)。（证明过程见例1）

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。

1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）

A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想

2．（2020·河南平舆初二期中）如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.

(1)在图(3)处画出拼成的这个图形的示意图；(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.

3．（2020·河南伊川初二期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．

将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB=