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定积分证明题方法总结六篇

定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考

查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结

了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。

一、不定积分计算方法

1.凑微分法

2.裂项法

3.变量代换法

1)三角代换

2)根幂代换

3)倒代换

4.配方后积分

5.有理化

6.和差化积法

7.分部积分法（反、对、幂、指、三）

8.降幂法

二、定积分的计算方法

1.利用函数奇偶性

2.利用函数周期性

3.参考不定积分计算方法

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三、定积分与极限

1.积和式极限

2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3.洛必达法则

4.等价无穷小

四、定积分的估值及其不等式的应用

1.不计算积分，比较积分值的大小

1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)=g(x),则=()dx

2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)

b)当0可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，

则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设m及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值

和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤m(b-a),该性质说明由被积函

数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致

范围。

●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连

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续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：

∫abf(x)dx=f()(b-a)。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a

定积分的应用

1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)

●直角坐标系下(含参数与不含参数)

●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式s=r2θ/2)

●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积

绕坐标轴旋转而成)(且体积v=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线

的方程)

●平行截面面积为已知的立体体积(v=∫aba(x)dx,其中a(x)

为截面面积)

●功、水压力、引力

●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

一、不定积分的概念和性质

若f(x)f(x)，则f(x