2025年高考数学二轮复习专题12 数列不等式放缩技巧（讲义）（解析版）.docx

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专题12数列不等式放缩技巧

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 6

05核心精讲·题型突破 12

题型一：先求和后放缩 12

题型二：裂项放缩 18

题型三：等比放缩 24

题型四：型不等式的证明 29

题型五：型不等式的证明 37

题型六：型不等式的证明 44

题型七：型不等式的证明 51

重难点突破：利用递推关系进行放缩 57

数列放缩技巧是高考数学中的核心考点，尤其在数列与不等式相结合的复杂问题中更为凸显。当前，这类问题的难度已趋于稳定，保持在中等偏难水平。解题时，关键在于对数列通项公式的灵活处理，特别是通过巧妙的变形来接近那些具有明确求和公式的数列类型。在此过程中，向可裂项相消的数列和等比数列靠拢，成为了放缩策略中的高级且有效的手段。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

数列不等式

掌握技巧，提升解题能力

2023年II卷第18题，12分

2022年I卷第17题，10分

2021年乙卷第19题，12分

2021年II卷第17题，10分

2021年浙江卷第20题，15分

预测2025年高考数学试题趋势，多以解答题形式出现，具体估计为：（1）在导数题目的压轴环节，第二问极有可能涉及利用导数理论进行数列不等式的证明，此类型问题预计将具备较高的思维难度与解题复杂度，对考生的逻辑推理与数学分析能力提出严峻挑战。（2）至于数列解答题部分，其第二问预计将以中等偏上的难度水平出现，该题预计将融合多个知识点，构成一道综合性较强的题目，旨在全面考察考生对数列知识的深入理解及灵活运用能力。

常见放缩公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）

；

（11）

；

（12）；

（13）．

（14）．

（15）二项式定理

①由于，

于是

②，

；

，

（16）糖水不等式

若，则；若，则．

1．（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列，．

(1)求的通项公式和．

(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

【解析】（1）由题意可得，解得，

则数列的通项公式为，

求和得

.

（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，

取，则，即，

当时，，

取，此时，

据此可得，

综上可得：.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，

则数列的公比满足，

当时，，所以，

所以，即，

当时，，所以，

所以数列的通项公式为，

其前项和为：.

2．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【解析】（1）∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

（2）

∴

3．（2021年天津高考数学试题）已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{bn

（I）求{an}

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

【解析】（I）因为{an}是公差为2的等差数列，其前8

所以，所以，

所以；

设等比数列{bn}

所以，解得（负值舍去），

所以；

（II）（i）由题意，，

所以，

所以，且，

所以数列是等比数列；

（ii）由题意知，，

所以，

所以，

设，

则，

两式相减得，

所以，

所以.

4．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）当时，，

，

当时，由①，

得②，①②得

，

又是首项为，公比为的等比数列，

；

（2）由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.

5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【解析】（I）依题意，而，即，

由于，所以解得，所以.

所以，故，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以（）.

所以，又，符合，

故.

（II）依题意设，由于，

所以，

故

.

又，而，

故

所以

.

由于，所以，所以.

即，.

题型一：先求和后放缩

【典例1-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：

①；②；③

请在三个条件中任选一个，补