2025年高考数学二轮复习专题09 三角函数的图象与性质的综合应用（讲义）（解析版）.docx

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专题09三角函数的图象与性质的综合应用

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 6

05核心精讲·题型突破 13

题型一：齐次化模型 13

题型二：辅助角与最值问题 15

题型三：与三角函数有关的最值问题 18

题型四：绝对值与三角函数综合模型 24

题型五：三角函数的综合性质 29

题型六：换元法配凑角 35

题型七：三倍角公式 37

重难点突破：ω的取值与范围问题 40

三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要集中在两个方面：

1、三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。

2、三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问题。

此外，三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

同角三角函数基本关系式

理解同角关系，熟练运用解题

2024年甲卷第8题，5分

2023年甲卷第7题，5分

2023年乙卷第14题，5分

2021年I卷第6题，5分

2025年高考三角函数考查重点：一是同角三角函数基本关系及诱导公式，需复习三角函数定义，题型为选择或填空，难度适中；二是三角恒等变换，注重公式变形、应用及最值问题，同样以选择或填空形式出现，难度为基础至中档；三是三角函数的图像、性质及变换，组合考查为热点，题型灵活，既可为基础或中档题，也可能成为压轴题。考生需全面掌握三角函数相关知识，灵活运用，以应对高考挑战。

三角恒等变换

掌握恒等变换，提高解题技巧与灵活性

2024年I卷第4题，5分

2024年II卷第13题，5分

2024年北京卷第12题，5分

2023年II卷第7题，5分

2023年I卷第8题，5分

2022年II卷第6题，5分

2022年浙江卷第13题，6分

2021年甲卷第9题，5分

三角函数的图像与性质

理解三角图像性质，提升函数应用能力

2024年I卷第7题，5分

2024年II卷第6、9题，11分

2024年天津卷第7题，5分

2024年北京卷第6题，5分

2023年天津卷第5题，5分

2023年甲卷第10题，5分

2023年乙卷第6题，5分

2023年I卷第15题，5分

2023年II卷第16题，5分

1、三角函数图象的变换

（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：

（2）平移变换

函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；

（3）伸缩变换

①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；

②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．

（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．

2、三角函数的单调性

（1）三角函数的单调区间

的单调递增区间是，

单调递减区间是；

的单调递增区间是，

单调递减区间是；

的单调递增区间是．

（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，

，的图象进行判断会很快得到正确答案．

3、求三角函数最值的基本思路

（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.

（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.

（3）利用导数判断单调性从而求解.

4、对称性及周期性常用结论

（1）对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.

（2）与三角函数的奇偶性相关的结论

若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.

若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.

若为奇函数，则有．

5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法

（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．

（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．

（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离