概率论第七章课件.ppt

例5设总体X服从0-1分布，且P(X=1)=p,用极大似然法求p的估计值。解X的概率分布可以写成设X1,X2,…,Xn为总体X的样本,设x1,x2,…,xn为总体X的样本值,则7-18第16页,共43页，星期六，2024年，5月对于不同的p,L(p)不同，见下图现经过一次试验，发生了，事件则p的取值应使这个事件发生的概率L(p)最大。7-19第17页,共43页，星期六，2024年，5月在容许的范围内选择p，使L(p)最大注意到，lnL(p)是L的单调增函数，故若某个p使lnL(p)最大，则这个p必使L(p)最大。7-20所以为所求p的估计值.第18页,共43页，星期六，2024年，5月一般地，设X为离散型随机变量，其分布律为X1,X2,…,Xn为总体X的样本,x1,x2,…,xn为总体X的样本值,则X1,X2,…,Xn的联合概率分布为：7-21或称L()为样本的似然函数。第19页,共43页，星期六，2024年，5月则称这样得到的为参数?的极大似然估计值，记为称统计量为参数?的极大似然估计量，记为7-22选择适当的?=,使取最大值，即L()当给定一组样本值时，就是参数?的函数,极大似然估计法的思想就是：L()第20页,共43页，星期六，2024年，5月若随机变量X连续,取f(xi,?)为Xi的密度函数似然函数为7-23注1注2未知参数个数可以不止一个,如?1,?2,…,?k设X的密度函数(或概率分布)为则定义似然函数为第21页,共43页，星期六，2024年，5月若关于?1,?2,…,?k可微，为似然方程组若对于某组给定的样本值x1,x2,…,xn，参数使得似然函数取得最大值，即则称为?1,?2,…,?k的极大似然估计值则称7-24第22页,共43页，星期六，2024年，5月显然，称统计量为?1,?2,…,?k的极大似然估计量7-25第23页,共43页，星期六，2024年，5月例6设总体X~N(?,?2),x1,x2,…,xn是X的一组样本值，求?,?2的极大似然估计.解7-26第24页,共43页，星期六，2024年，5月?,?2的极大似然估计量分别为似然方程组为7-27第25页,共43页，星期六，2024年，5月求未知参数的极大似然估计值(量)的方法1）写出似然函数L2）求出,使得7-28第26页,共43页，星期六，2024年，5月可求得未知参数的极大似然估计值然后,再求得极大似然估计量.7-29L是的可微函数,解似然方程组若L不是的可微函数,需用其它方法求极大似然估计值.请看下例：若第27页,共43页，星期六，2024年，5月例7设X~U[a,b],x1,x2,…,xn是X的一个样本,求a,b的极大似然估计值与极大似然估计量.解X的密度函数为似然函数为7-30第28页,共43页，星期六，2024年，5月似然函数只有当axib,i=1,2,…,n时才能获得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…,xn}取则对满足的一切ab,都有7-31第29页,共43页，星期六，2024年，5月故是a,b的极大似然估计值.分别是a,b的极大似然估计量.7-32第30页,共43页，星期六，2024年，5月作业第七章习题2、4第31页,共43页，星期六，2024年，5月第32页,共43页，星期六，2024年，5月第33页,共43页，星期六，2024年，5月问题1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?2)若存在,是否惟一?第34页,共43页，星期六，2024年，5月设X~U(a–?,a+?),x1,x2,…,xn是X的一个样本,求a的极大似然估计值.解