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安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

3．在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（???）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（???）

A． B． C． D．

5．在锐角中，，则的范围是（???）

A． B． C． D．

6．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（????）（参考数据：，，）

A．3分钟 B．5分钟 C．7分钟 D．9分钟

7．已知双曲线的左?右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且则（????）

A． B．是偶函数

C．关于点对称 D．

二、多选题

9．设，为复数，则下列说法中正确的有（????）

A． B．

C．若，则 D．若，则为纯虚数

10．如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（???）

A．直线与所成角的余弦值为

B．若，则点的轨迹长度为

C．若，则

D．过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为（或）

11．已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（????）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

三、填空题

12．展开式中的常数项是120，则实数．

13．已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是.

14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则.

四、解答题

15．为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表.

性别

感冒情况

合计

不感冒

感冒

男性

30

15

45

女性

45

10

55

合计

75

25

100

(1)请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；

(2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

附：，其中.

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

16．已知函数．

(1)时，求的极值；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

17．如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．

(1)证明：；

(2)过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．

18．已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相切于点．

（ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值；

（ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．

19．已知点集．将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列．定义：，，其中表示，中最大的数．

(1)对于数对序列，，求，的值；

(2)有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小；

(3)若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和．

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