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北京市怀柔区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（????）

A． B． C． D．

2．抛物线的焦点到准线的距离为（????）

A．1 B．2 C．4 D．8

3．已知等比数列，，，则公比等于（????）

A． B． C． D．2

4．若直线是圆的一条对称轴，则值为（????）

A． B．2 C． D．4

5．若直线与直线平行，则两平行线间的距离（????）

A． B． C． D．

6．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（????）

A． B．1 C． D．

7．双曲线：的右焦点到其渐近线的距离为（????）

A．4 B．3 C． D．

8．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．金刚石是天然存在的最硬的物质，这是因为金刚石的碳原子在空间中的排列方式决定的.如图1，组成金刚石的每一个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.即图2中，则的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

10．已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（????）

①若，则数列的前项和；

②若，数列的前项和为，则是递增数列；

③若数列是递增数列，则.

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二、填空题

11．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为.

12．已知等差数列的前项和为，若，，则；的最小值为.

13．若双曲线的离心率为，写出一个满足条件的双曲线方程.

14．已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则；若，则点的横坐标的取值范围是.

15．边长为1的正方体中，，，分别为，，的中点，为正方体内的一个动点（包含边界），且满足，则下列选项中所有正确结论的序号是.

①线段与无交点；

②平面截正方体所得到的截面图形面积为；

③直线与平面所成角为；

④在平面上存在点，使得平面.

三、解答题

16．已知圆：，直线：.

(1)求过圆心且与直线垂直的直线方程；

(2)直线与圆交于，两点，求的面积.

17．如图，已知正方体，边长为2.

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值.

18．已知等差数列的前项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)数列的前项和为，且满足，从下列三个条件中任选一个作为已知，求数列的通项公式及数列的前项和.

条件①；

条件②的前项和为；

条件③.

19．已知抛物线：的焦点为，且经过点.

(1)求抛物线的标准方程、焦点坐标及准线方程；

(2)抛物线上一点，若，求点的坐标；

(3)直线：与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）的面积为4，求值.

20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点.

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

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《北京市怀柔区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

C

A

D

A

B

C

D

A

1．D

【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.

【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，

又直线过点，所以直线的方程为.

故选：D

2．B

【分析】根据抛物线方程得到值，则得到焦点到准线的距离.

【详解】，，所以焦点到准线的距离为2.

故选：B．

3．C

【分析】根据等比数列的通项公式计算可得.

【详解】因为，，所以，解得.

故选：C

4．A

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，根据圆心在直线上