《有理函数积分补充》课件.pptVIP

*******************有理函数积分补充课程目标11.掌握有理函数积分的概念和方法22.能够熟练运用部分分式分解法处理有理函数积分33.了解有理函数积分在实际问题中的应用有理函数积分的概念定义有理函数积分是指对有理函数进行积分运算。有理函数是指两个多项式的商，形式为f(x)/g(x)，其中f(x)和g(x)是多项式，且g(x)不为零。符号∫f(x)/g(x)dx有理函数的性质连续性在定义域内，有理函数是连续函数。可微性在定义域内，有理函数是可微函数。可积性在定义域内，有理函数是可积函数。有理函数的分类真分数有理函数分子次数小于分母次数假分数有理函数分子次数大于或等于分母次数整式分母为1的有理函数利用部分分式分解的方法处理有理函数积分1分解将有理函数分解为部分分式2积分分别对每个部分分式进行积分3合并将积分结果合并得到最终结果求有理函数的次数小于分母次数的积分步骤1.将分母因式分解2.将有理函数分解为部分分式3.分别对每个部分分式进行积分例子∫1/(x^2-1)dx=∫1/(x+1)(x-1)dx=(1/2)ln(x+1)-(1/2)ln(x-1)求有理函数次数等于分母次数的积分方法先进行长除法，将有理函数化简为真分数有理函数加上一个多项式。然后对真分数有理函数和多项式分别进行积分。例子∫(x^2+1)/(x-1)dx=∫(x+1)+2/(x-1)dx=(x^2/2)+x+2ln(x-1)求有理函数次数大于分母次数的积分步骤1.使用长除法将有理函数化简为一个多项式加上一个真分数有理函数。2.分别对多项式和真分数有理函数进行积分。例子∫(x^3+1)/(x^2-1)dx=∫(x+1)+2/(x^2-1)dx=(x^2/2)+x+ln(x+1)-ln(x-1)有理函数积分的应用举例1物理学计算电场2工程学计算电路中的电流3经济学计算边际成本习题分析与讨论典型例题讲解一些典型例题，帮助学生理解和掌握有理函数积分的解题思路和技巧。难点突破针对学生在解题过程中遇到的难点进行分析和讲解，帮助学生克服学习障碍。如何提高积分计算能力1熟练掌握积分公式熟悉常见的积分公式2练习解题技巧通过大量练习，熟练掌握积分计算技巧3多思考遇到问题不要轻易放弃，多思考，尝试不同的解题思路单一分母的有理函数积分概念分母为单项式的有理函数积分方法可以使用直接积分法或换元法分母含多项式因子的有理函数积分步骤1.将分母因式分解2.使用部分分式分解法3.分别对每个部分分式进行积分例子∫1/(x^2+2x+1)dx=∫1/(x+1)^2dx=-1/(x+1)奇次幂有理函数积分方法使用三角代换法将积分化为三角函数积分例子∫1/(x^3+1)dx=∫(1/3)*(1/(x+1))-(1/3)*(x-1)/(x^2-x+1)dx无理分母有理函数积分方法使用三角代换法或代数变换法将积分转化为有理函数积分例子∫(x+1)/√(x^2+1)dx=ln(x+√(x^2+1))分解因式法在有理函数积分中的应用步骤1.将分母因式分解2.将有理函数分解为部分分式3.分别对每个部分分式进行积分例子∫(2x+1)/(x^2+x-2)dx=∫(1/(x-1))+(1/(x+2))dx=ln(x-1)+ln(x+2)高次有理函数积分的策略方法1.使用长除法将有理函数化简为一个多项式加上一个真分数有理函数。2.对真分数有理函数进行部分分式分解。3.分别对多项式和每个部分分式进行积分。例子∫(x^4+1)/(x^2+1)dx=∫(x^2-1)+2/(x^2+1)dx=(x^3/3)-x+2arctan(x)含有变量参数的有理函数积分步骤1.将积分化为标准形式。2.使用分部积分法或其他积分技巧求解。例子∫(ax+b)/(x^2+1)dx=(a/2)ln(x^2+1)+barctan(x)利用换元法简化有理函数积分步骤1.选择合适的变量进行替换。2.将积分化为新的变量