空间向量及运算.docVIP

空间向量基础知识

1．空间向量运算的运算律：

（1）加法交换律：；

（2）加法结合律：；

（3）数乘分配律：.

2．（1）共线向量定理：对空间任意两个向量、，∥存在实数λ使=λ.

判断三点共线：P、A、B三点共线∥

=x（x+y=1）。

（2）共面向量定理：向量与不共线向量、共面.

推论：①空间一点P位于平面MAB内，

（平面外一点O）.

②A、B、C、D四点共面与、共面

，（平面ABC）.

（3）空间向量基本定理：

如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组、、，使.

dBA3．数量积公式：.夹角公式：，范围.

d

B

A

射影长公式：向量在向量上的投射影长d：

(即在方向上投影的绝对值).

4．向量的直角坐标运算：

设，，则：

（1）；

（2）；

（3）（∈R）；

（4）；

（5）∥=λ或；

（6）⊥.

5．向量的坐标（两点间的距离公式）：

设A，B，则；

.

6．向量的模、夹角公式：

设，，则：；

cos.

7．三个向量和的平方公式：.

8．用向量方法证垂直：

⑴线线垂直：直线AB⊥直线CD

⑵线面垂直：直线AB⊥平面MNP

9．用向量方法证平行：

⑴线线平行：直线AB∥直线CD∥

⑵线面平行：直线AB∥平面α（平面α的法向量为）

⑶面面平行：平面α∥β∥（平面α的法向量为，平面β的法向量为）

10．用向量方法求空间角和距离：

⑴求异面直线所成的角：

设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角

⑵求线面角：设是斜线的方向向量,是平面的法向量,则斜线与平面所成的角.

⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则二面角的平面角.(法二)设,是二面角的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角.

11．用向量方法求距离：

①点B到直线距离：

，（点在直线上，直线的方向向量）

②异面直线间的距离：（、是两异面直线，其公垂向量为，C、D分别是、上任一点，为、间的距离）

③点B到平面的距离：(即在方向上投影的绝对值).

APBdDCAB（为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，）.

A

P

B

d

D

C

A

B

空间向量及运算练习题

一、选择题：

1、设向量、、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）

A{+，－，} B{+，－，}C{+，－，}D{++，+，}

2、在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量、、是

A有相同起点的向量 B等长的向量C共面向量 D不共面向量

3、已知+3与7－5垂直，且－4与7－2垂直，则〈，〉=_______

4、在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）

A3 B2 C1 D0

5、已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋与2－互相垂直，则k值是

A1 B C D

6、设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（A）

A（，，）B（，，） C（，，） D（，，）

7、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为（D）Aarccos Barccos Carccos Darccos

8、已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________

9、设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值

二题解答题：

1．如图，点A是△ABD所在平面外一点，G是△BCD的重心，，λ=

2．在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离

【变式】A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长

3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=ED1

4．在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=

（1）求证：SC⊥BC；

（2）求SC与AB所成角的余弦值

5．如图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=