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6.4.1二项分布
1.通过具体实例,了解n重伯努利试验的概念,掌握二项分布及其数字特征.
2.能用二项分布解决简单的实际问题.
一个盒子中装有3个红球和2个黑球,现有放回地依次从中抽取3次,每次取1个球.用X表示这3次取球中取得黑球的个数,将一次取球看成做了一次试验,思考并回答下列问题:
(1)一共进行了几次试验?每次试验有几种可能的结果?
3次,每次试验有两种可能的结果:取得红球与取得黑球.
(2)每次试验取得黑球的概率一样吗?是多少?
(3)各次试验是否相互独立?请你列出随机变量X的分布列.
是相互独立,X的所有可能取值为0,1,2,3.
故X的分布列如表:
X
0
1
2
3
P
一般地,在相同条件下重复n次伯努利试验,若这n次试验是相互独立的,则称这n次伯努利试验称为n次独立重复试验.
特征:
(1)一致性:每次试验都是在相同的条件下进行.
(2)对立性:每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”.
(3)独立性:各次试验是相互独立.
(4)重复性:每次“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为1-p;
二项分布
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,
且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是
{0,1,2,…,k,…,n},
X
0
1
...
k
...
n
P
...
...
第二行中的概率值恰好是二项式展开式
中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作
X~B(n,p)
因此X的分布列如下表所示.
注:两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.
k
0
1
2
3
4
P(ξ=k)
如表:
一般地,若随机变量X~B(n,p),则
特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则
解:设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ,所得的分数为η,
由题意知,η=4ξ,且ξ~B(25,0.6),
则Eξ=25×0.6=15,D(ξ)=25×0.6×(1-0.6)=6.
故Eη=E4ξ=4Eξ=60,D(η)=D(4ξ)=42×D(ξ)=96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.
例3:一次数学测验由25道选择题构成,每道选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每道题选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率均为0.6,求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差.
解:若采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用X表示3局比赛中甲胜的局数,则X~B(3,0.6),所以甲最终获胜的概率为
同理,若采用5局3胜制,则X~B(5,0.6),所以甲最终获胜的概率为
例4:甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?
显然,采用5局3胜制对甲更有利.
1.(多选)下列随机变量X服从二项分布的是()
A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数
D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
ACD
2.若100件产品中有5件次品,从中有放回地抽取10件,其中次品数X~B(n,p),则有()
A.n=5,p=0.05 B.n=10,p=0.05
C.n=5,p=0.95 D.n=10,p=0.95
3.在4重伯努利试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是()
A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1)
B
A
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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