数值分析二分法迭代法及收敛性.ppt

3.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性首先考察?(x)在[a,b]上不动点的存在唯一性.定理1设?(x)∈C[a,b]满足以下两个条件：1o对任意x∈[a,b]有a≤?(x)≤b.2o存在正数L1，使对任意x,y∈[a,b]都有则?(x)在[a,b]上存在唯一的不动点x*.证明先证不动点的存在性.若?(a)=a或?(b)=b，显然?(x)在[a,b]上存在不动点.因为a≤?(x)≤b，以下设?(a)a及?(b)b定义函数第20页,共32页，星期六，2024年，5月显然f(x)∈C[a,b],且满足f(a)=?(a)-a0,f(b)=?(b)-b0,由连续函数性质可知存在x*∈(a,b)使f(x*)=0，即x*=?(x*)，x*即为?(x)的不动点.再证不动点的唯一性.设x1*,x2*∈[a,b]都是?(x)的不动点，则由(2.4)得引出矛盾，故?(x)的不动点只能是唯一的.证毕.第21页,共32页，星期六，2024年，5月定理2设?(x)∈C[a,b]满足定理1中的两个条件，则对任意x0∈[a,b]，由(2.2)得到的迭代序列{xk}收敛到不动点x*，并有误差估计式证明设x*∈[a,b]是?(x)在[a,b]上的唯一不动点,由条件1o，可知{xk}∈[a,b]，再由(2.4)得因0L1，故当k→∞时序列{xk}收敛到x*.第22页,共32页，星期六，2024年，5月下面证明估计式(2.5)，由(2.4)有于是对任意正整数p有上述令p→∞,注意到limxk+p=x*(p→∞)即得(2.5)式.第23页,共32页，星期六，2024年，5月又由于对任意正整数p有上述令p→∞,及limxk+p=x*(p→∞)即得(2.6)式.证毕.注：误差估计式(2.5)原则上确定迭代次数，但它由于含有信息L而不便于实际应用.而误差估计式(2.6)是实用的，只要相邻两次计算结果的偏差足够小即可保证近似值xk具有足够精度.第24页,共32页，星期六，2024年，5月注：对定理1和定理2中的条件2o可以改为导数，即在使用时如果?(x)∈C[a,b]且对任意x∈[a,b]有则由微分中值定理可知对任意x,y∈[a,b]有故定理中的条件2o是成立的.第25页,共32页，星期六，2024年，5月例如，在前面例2中采用的三种迭代公式，在有根区间(1,1.2)内，有故前两个迭代公式收敛，第三个迭代公式不收敛.第26页,共32页，星期六，2024年，5月3.2.3局部收敛性与收敛阶上面给出了迭代序列{xk}在区间[a,b]上的收敛性,通常称为全局收敛性.有时不易检验定理的条件，实际应用时通常只在不动点x*的邻近考察其收敛性，即局部收敛性.定义1设?(x)有不动点x*，如果存在x*的某个邻域U:|x-x*|≤δ，对任意x0∈U，迭代公式(2.2)产生的序列{xk}∈U，且收敛到x*，则称迭代法(2.2)局部收敛.第27页,共32页，星期六，2024年，5月定理3设x*为?(x)的不动点，在x*的某个邻域连续，且，则迭代法(2.2)局部收敛.证明由连续函数的性质，存在不动点x*的某个邻域U:|x-x*|≤δ，使对于任意x∈U成立此外，对于任意x∈U，总有?(x)∈U，这是因为于是依据定理2可以断定迭代过程xk+1=?(xk)对于任意初值x0∈U均收敛.证毕.第28页,共32页，星期六，2024年，5月例3用不同迭代法求方程x2-3=0的根.解这里f(x)=x2-3，可以改写为各种不同的等价形式x=?(x)，其不动点为，由此构造不同的迭代法.第29页,共32页，星期六，2024年，5月取x0=2,对上式4种迭代法,计算三步所得结果入下表.kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123┆x0x1x2x3┆23987┆21.521.5┆21.751.734751.732361┆21.751.7321431.732051┆第30页,共32页，星期六，2024年，5月定义2设迭代过程