高一上学期期末数学新定义压轴汇编12其他的一些数学新定义压轴选编.docx

高一上期期末新定义压轴汇编12.其他的一些新定义

一．基本原理

1．新概念导向的压轴

2．新运算为导向的压轴

3．新性质为导向的压轴

4．新背景为导向的压轴

5．新公式为导向的压轴

二．典例分析

★1．新概念导向的压轴

例1．若对于实数，，关于的方程在函数y=fx的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.

(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；

(2)若为函数的“可消数对”，求的值；

(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.

解析：（1）因为函数是“可消函数”，所以，对，使得，整理得，

当时，;当时，，解得.

经检验，满足条件，所以所求函数的“可消数对”为0,2.

（2）因为为函数的“可消数对”，所以为函数的“可消数对”，所以，对，都有，整理得，所以，所以.

（3）因为存在，使得同时为函数的“可消点”与“可消点”，所以，

化简可得，因为

则，

所以，故的取值范围为.

★2．新运算为导向的压轴

例2．对于定义在区间上的函数，若．

(1)已知，，试写出、的表达式；

(2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；

(3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由．

解析：（1）因为函数在上单调递减，则，因为函数在上单调递增，则.

（2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增，当时，令，则，

由，则，对称轴，

根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立．当时，令，由，则，只需，化简得，解得，综上所述的取值范围为

（3）因为函数在?1,0上单调递减，在0,4上单调递增，则，，所以，，当时，，，；当时，，，

因为函数在上单调递减，所以，；当时，，，因为函数在上单调递增，

所以，.综上所述：故是上的“阶收缩函数”，且小正整数.

3．新性质为导向的压轴

例3．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质．

(1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；

(2)已知，为定义在上的奇函数，且满足；

①在上，当且仅当时，取得最大值1；

②对任意，有．

求证：与不具有“4关联”性．

解析：（1）由题意可知，故，

则m的取值范围为；

（2）因为在上，当且仅当时，取得最大值1，且为定义在上的奇函数，

故在上当且仅当时，取得最小值1，由对任意，有，可知图象关于点对称，又，即，故2a为函数的周期，故，

，当时，，

时，，若，，，此时有为最大值；当时，，

时，，若，，此时有为最大值，由于，故，即不存在，使得，所以与不具有“4关联”性．

★4.新背景见前面11讲

★5．新公式为导向的压轴

例4．对于有序实数对，记，，其中表示和两个数中最大的数．

(1)对于有序实数对，求的值；

(2)记为四个数中的最小值，对于有序实数对和，试分别对和的两种情况比较和的大小；

(3)在由4个实数对组成的所有有序实数对中，直接写出一个有序实数对，使得最小，并写出的值．

解析：（1），.

（2），，

，，

当时，，

因为，且，则；

当时，，

因为，且，则，

所以无论还是，都成立．

（3）由（2）知，有序实数对中，第一坐标最小的为左起第一个，第二坐标最小的为右起第一个，由此依次比较余下的有序实数对，可使得最小，因此由4个实数对组成的所有有序实数对中，有序实数使得最小，

，，

，

.