上海市普通高校2025届春季招生统一文化考试仿真模拟数学试卷02（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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上海市普通高校2025届春季招生统一文化考试

数学仿真模拟卷02

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知，，，．若，则．

【解析】，，，，，

则．

【答案】2

2．若，则．

【解析】因为，所以．

【答案】

3．不等式的解集为．

【解析】由可得，，

所以，所以，

即不等式的解集为，，

【答案】，

4．圆的半径是．

【解析】根据题意，圆即圆，

其半径，

【答案】

5．已知事件的对立事件为，若（A），则．

【解析】事件的对立事件为，

若（A），则．

【答案】0.5

6．已知，，且，则的最小值为．

【解析】因为，，且，

所以

；

当且仅当，即，时，等号成立

所以的最小值为．

【答案】

7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．

【解析】极差为，组距为5，且第一组下限为153.5，，故组数为7组，

【答案】7

8．已知，则（用数字作答）．

【解析】令时，解得；

令时，；①，

令时，；②，

故①②得：，

故．

【答案】

9．定义符号函数，则方程的解集为．

【解析】由方程，可得，，，

当时，原式等价于，，；

当时，原式等价于，即，，，

【答案】，

10．已知函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，则它在，上是增函数的概率为．

【解析】函数，其中，3，，，2，，

从中随机抽取1个，基本事件总数，

记事件表示“在，上是增函数”，由已知可知开口一定向上，对称轴为，

则，即，

则事件包含的基本事件有：，，，共3个，

所以（A），

【答案】

11．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为．

【解析】设，

由得，，

，

则，

即，

所以，

若，则或，

检验得，时，得（舍，

当时，或，，

当时，得或，

当，时，此时不存在，

当，时，，，

此时，

故．

【答案】

12．已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为．

【解析】设，，，

，不妨设，，，则，

因为，

所以，可得，，

所以，解得，

故．

【答案】

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13．设函数，则下列函数中为奇函数的是

A． B． C． D．

【解析】因为，

所以为奇函数，符合题意．

【答案】

14．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下，则

A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数

B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数

C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差

D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差

【解析】甲的数据的平均数为，

乙的数据的平均数为，

故选项错误；

甲的数据的中位数为100，乙的数据的中位数为100，

故选项错误；

甲的数据的方差为，

乙的数据的方差为，

故甲的数据的方差大于乙的数据的方差，

即选项正确；

甲的数据的极差为，

乙的数据的极差为，

故选项错误；

【答案】

15．如图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是

A．，且与平行 B．，且与平行

C．，且与异面 D．，且与异面

【解析】设正方体的棱长为，

则，

作点在平面内的射影点，连结，，

所以，

所以，故选项，错误；

连结，因为为平面的中心，所以，

又因为，分别为，的中点，所以，

又因为，所以，且，

所以与异面，故选项错误．

【答案】

16．已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的是

A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列

B．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列

C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列

D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列

【解析】如果数列成等差数列，设公差为，

由，，成等差数列，可得，

即，

化为，

由，

，

只有，才有，但，

此时，，不为等比数列，故错误；

如果数列成等比数列，设公比为，

由，，成等差数列，可得，

若，则，可得，不成立；

所以不为1，则．

化为，即，

解得，

因为，

所以，

可得，，为等差数列，故正确；

若不成等差数列，无法判断，，不成等比数列，故错误；

若不成等比数列，无法判断，，不成等差数列，故错误．

【答案】

三、解析题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）

17．如图，在三棱锥中，平面，，，，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求点到平面的距离．

解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所