离散型随机变量的方差高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.pptx

6.3.2离散型随机变量的方差

1.通过实例理解离散型随机变量方差和标准差的含义，了解随机变量的方差与样本方差的区别与联系.

2.能计算简单离散型随机变量的方差.

设有A，B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为X，Y(单位：h).已知X，Y的分布列如下表：

X

950

1000

1050

P

Y

700

1000

1300

P

哪种类型的灯泡质量更好？

直观上看，A类型的灯泡寿命X与其均值的偏离程度要小一些.

根据X，Y的分布列计算可得EX=EY=1000h，

A类型的灯泡寿命介于950h~1050h，

B类型的灯泡寿命介于700h~1300h，

离散型随机变量的方差

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.

这称为离散型随机变量X的方差.

随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.

思考：根据以前所学知识，样本数据的离散程度是如何表示的？该如何定量刻画随机变量取值的离散程度？

随机变量的离散程度

?

可能取值与均值的

“偏差平方的平均值”

(随机变量的方差)

通过计算方差，标准差比较上面例子中哪种类型的灯泡质量更好.

X

950

1000

1050

P

Y

700

1000

1300

P

例1:有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，背面朝上，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ=x·y.求：

(1)ξ所取各值的分布列；

(2)随机变量ξ的数学期望与方差.

求随机变量X的方差的步骤：

(1)确定随机变量的所有可能的取值；

(2)求随机变量各个取值对应的概率；

例2:甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如表1和表2：

ξ

0

1

2

P

表1

表2

η

0

1

2

P

试比较这两名工人谁的技术水平更高.

解：因为

即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当.

所以DξDη，说明工人乙的技术比较稳定.

思考：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化?离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化?它们和期望的性质有什么不同?

均值的性质：

方差的性质：

1.已知随机变量X的分布列为

X

0

1

2

P

B

2.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.

股票A收益的分布列

股票B收益的分布列

收益X/元

－1

0

2

概率

0.1

0.3

0.6

收益Y/元

0

1

2

概率

0.3

0.4

0.3

(1)投资种股票的期望收益大.

(2)投资种股票的风险较高.

A

A

根据今天所学，回答下列问题：

1.如何求离散型随机变量的方差？

2.随机变量的方差与样本方差的区别与联系？