上海市杨浦区2025届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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上海市杨浦区2025届高三上学期模拟质量调研（一模）

数学试题

一?填空题（本大题满分54分，共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）

1.已知集合，则的子集个数为__________.

【答案】4

【解析】集合,则集合的子集有：

所以集合的子集个数有个.

故答案为：4.

2.函数的最小正周期是___________．

【答案】

【解析】的最小正周期是，

故答案为：

3.不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】分式不等式可以转化，解得，

所以原不等式的解集为.

故答案：.

4.已知函数是偶函数，则实数的值为__________.

【答案】0

【解析】由题意可知，

由于为偶函数，故，即，即，

故，

故答案为：0

5.已知，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】由，

当时，上式为，解得（舍），

当时，上式为，解得（舍），

当时，上式为.

所以实数的的取值范围为.

故答案为：.

6.已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________.

【答案】

【解析】设向量与的夹角为，

若，则，

所以，

可得.

故答案为：.

7.已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为__________.

【答案】

【解析】如图，正四棱锥，正方形的对角线相交于点，连接，

则⊥平面，

因为平面，所以⊥，

其中，

故，

所以该四棱锥的体积为.

故答案为：

8.某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为__________.

【答案】6

【解析】同全区同学中答对的人数为人，答错或不答的人数为人，

所以全区同学该题得分的平均数为分，

则全区同学该题得分的方差为.

故答案为：6.

9.将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为__________.

【答案】

【解析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，，

则圆柱形工件的侧面积为，

又因为，当且仅当时等号成立，

所以，

故答案为：.

10.已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增，

所以有一解，解得：，

有一解，解得：，

所以，

故答案为：.

11.中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为__________.（精确到0.01）

【答案】

【解析】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为，

变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为，

由题意可得，化简得，

即，解得（负值舍去）.

故答案为：.

12.已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】解法一：由于，设，

则

，

设z对应点，则，

所以，其中，

当时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集，

即平面上除去线段的点的集合，其中，

集合表示复平面上的圆，圆心为，半径为a，

如果，则该圆与线段无公共点，

结合图形可知的取值范围为；

解法二：

先证明：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数.

下设是复数.

情况一：不是实数，也不是纯虚数.

设，，

并令，.

则对，有，

即.

假设，则，矛盾，所以，

从而.

又因为，

所以.

此时，假设：

由于，

故

同理，根据可以得到.

对和相加和相减，

就能得到，.

若假设，则，从而或，

这和情况一的定义矛盾，所以.

若假设，则，从而，这和情况一的定义矛盾，所以.

这就得到，所以，所以，

即.

这就得到.

所以或，无论哪种情况都能得到是实数，

故可设.

若，则，得是实数，这和情况一的定义矛盾.

若，则，得是纯虚数，这和情况一的定义矛盾.

故前面的假设不成立，所以结合可知，

一定存在使得，结合可知.

②情况二：是纯虚数.

此时设，则满足，

且

故.

③情况三：是实数，且.

此时满足，

且，故.

④情况四：是实数，且.

此时满足，

且，故.

⑤情况五：是实数，且.

假设，则存在复数使得，且，设.

则.

从而，，而由可知，

所以，故.

这就得到，矛盾.

所以假设不成立，从而.

综合上面五种情况，就得到了结论：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数.

现在回到原题，结合上面的结论，条件等