2024-2025学年湖北省部分学校高三上册10月联考数学检测试卷（含解析）.docx

2024-2025学年湖北省部分学校高三上学期10月联考数学检测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（）

A. B. C. D.

2.若则（）

A B. C. D.

3.数列是公差不为零等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则（）

A. B. C. D.2

4.已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（）

A. B. C. D.

5.对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（）

A. B. C. D.大小不确定

6.已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.在平面直角坐标系中，双曲线的左?右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

8.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（）

A B. C. D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）

A若与互斥，则

B.若与相互独立，则

C.若，则与相互独立

D.若发生时一定发生，则

10.已知，且，则（）

A. B.

C. D.

11.设是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（）

A. B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数满足，则__________.

13.若是偶函数，则实数的值为__________.

14.在如图所示直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列的前项和为且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，数列的前项和为.求.

16.在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.设向量，，且.

（1）求角B的大小；

（2）设D是边上的一点，使得的面积是面积的2倍，且，求线段的长.

17.已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的恒成立，求的最小值.

18.如图，在四棱锥中，底面，，平面与平面的交线为.

（1）求证：平面；

（2）设为内一动点，且，求线段长度的最小值；

（3）在（2）的条件下，当线段的长最小时，求直线与平面所成角的正弦值.

19.在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵?信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量的所有取值为，定义信息熵：

（1）若，且，求随机变量的信息熵；

（2）若，求随机变量的信息熵；

（3）设和是两个独立的随机变量，求证.

2024-2025学年湖北省部分学校高三上学期10月联考数学检测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（）

A. B. C. D.

【正确答案】C

【分析】根据题意求集合，进而求交集.

【详解】由题意可知：，

，

所以.

故选：C.

2.若则（）

A. B. C. D.

【正确答案】D

【分析】利用二倍角余弦公式，及齐次式弦化切，从而得到结果.

【详解】

，

故选：D.

3.数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则（）

A. B. C. D.2

【正确答案】B

【分析】根据等差数列性质可得，再根据等比中项运算可得，即可得结果.

【详解】设等差数列的公差，

因为，即，

又因为成等比数列，则，

即，整理可得，

所以.

故选：B.

4.已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（）

A. B. C. D.

【正确答案】D

【分析】根据题意分析可知函数的最小正周期，在利用最小正周期公式运算求解.

【详解】因为，即，可得，

可知函数的最小正周期，

且，即，解得.

故选：D.

5.对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（）

A. B. C. D.大小不确定

【正确答案】A

【分析】根据向量夹角公式可得直线的夹角的余弦值，再结合面积公式运算求解.

【详解】因为，则，

可得，

设直线的夹角为，

则，可得，

所以四边形的面积为.

故选：A.

6.已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（