向量与线性方程组.ppt

●矩阵的秩的概念矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作R(A)或r(A)。显然，如果R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式不等于零，所有高于r阶的子式都为零。例如因为所以如果A为mχn矩阵，则R(A)≤min(m,n)。特别当R(A)=m时，称矩阵A为行满秩；当R(A)=n时，称矩阵A为列满秩；当R(A)=m=n时，称矩阵A为满秩矩阵。定理定理推论推论m*n矩阵A的m个行向量线性相关的重要条件是R(A)mm个n维向量线性相关的充要条件是由他们组成的m*n矩阵的秩为m(m≤n)推论任意m个n维的向量线性相关01n个n维的向量线性无关的充要条件是他们组成的矩阵的行列式不等于零矩阵A的秩为的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量(如果存在）线性相关02行阶梯矩阵，行最简单矩阵设A为m*n的矩阵，若A为行阶梯，满足下列三个条件（1）a11,a22，…，ann以下的元素全为零(2)每一行的每一个非零元前面的零元个数大与前一行的这种零元的个数（3）如果某一行的元全为零，则以下额所有行的元全为零非零行的每一个零元为1，且这些非零元1所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵称为行最简单矩阵。行阶梯矩阵的秩等于非零行的个数，行最简单行矩阵的秩等与1的个数●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。例求矩阵的秩解将矩阵作初等变换所以R(A)=3行阶梯形答案：01问题：矩阵B中是否所有的三阶子式都不为零？利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩01课堂练习：向量与线性方程组向量的线性相关性线性方程组的解的结构线性方程组的求解第二章向量的定义及线性运算●向量与线性方程组引例一个方程对应一组数矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。●向量的定义由n个数组成的有序数组称为一个n维行向量，记作，其中称为向量的第i个分量（或坐标）。如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。●几个概念1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量：如果向量与是同维向量，而且对应的分量相等，则称向量与相等。3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。4、负向量：称向量为向量的负向量，记作。5、向量组：如果n个向量是同维向量，则称为向量组●向量的线性运算1、向量的加减法，称向量设，则称向量为向量与向量的和向量，记作为向量与向量的差向量，记作。2、数乘向量向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。设向量则称向量为数与向量的数称向量，记作交换律结合律分配律向量线性运算的运算律例1解练习：已知，求解（1）则方程组有向量形式●线性方程组的向量表达式若记线性方程组即为系数矩阵的第列PARTONE向量的线性关系●向量的线性关系解设则所以线性组合的概念：设有同维向量，如果存在一组数，使得成立，则称向量可由向量组线性表示，或称向量是向量组