复习篇 第4讲 函数的周期性和对称性 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（原卷版）.docx

第4讲函数的周期性和对称性

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

一函数的周期性

1概念

对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=

2常见的结论

①若f(x+a)=f

②若f(x+a)=-f

③若fx+a=1

二函数的对称性

1函数图象自身的对称关系

①轴对称：若f(x+a)=

②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+

2两个函数图象之间的对称关系

①轴对称

若函数y=f(x)定义域为R，则两函数

特殊地，函数y=f(a+x

②中心对称

若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=

特殊地，函数y=f(x+a

3周期性与对称性拓展

①若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称，则函数y=

②若函数y=f(x)同时关于点a,0

③若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0

T=4|

特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x

【题型1】函数的周期性

【典题1】若函数f(x)的定义域为R，且对一切实数x，都有f(-x

【典题2】若定义在实数集R上的f(x)满足：x∈(-3,-1)时，f(x+1)=ex，对任意x∈

A．e2 B．

【巩固练习】

1.(★★)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f

A．-34 B

2.(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[-1,1]时，f(x)=|

A．|x+3| B

3.(★★)已知奇函数f(x)对任意实数x满足f(x+4)=f(x

A．79 B．-79 C．97

4.(★★★)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(

A．f(sinπ6

C．f(sin4π

5.(★★★)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(

f(5)=a2-2a

A．(-1,3)

C．(-3,1)

6.(★★)函数f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(2-

7.(★★★)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=-

8.(★★★)定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，且在(0，1)上单调递减．若方程

9.(★★★)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且

(I)求f(0)

(II)证明函数f(

【题型2】函数的对称性

【典题1】已知函数f(x)=2

A．函数f(x)的图象关于x=2对称 B．函数f

C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称 D．函数f

【典题2】若定义在R上的增函数y=f(x-2)图象关于点(2,0)对称，且f

A．g(0)=1B．g-1=0C．g

【巩固练习】

1.(★★)函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么

A．f(2-x)=f(x

C．函数y=f(x+1)是偶函数

2.(★★)已知函数f(x)=|x

A．函数f(x)的图象关于直线x=1对称 B．

C．函数f(x)有最小值，无最大值

3.(★★)下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1,0)对称的是(

A．y=

C．y

4.(★★)函数f(x)=2sin

A．(0,1) B．(1,-1)

5.(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)

A．0 B．1

6.(★★)已知函数f(x)=ln

A．y=f(x)的图象关于点(2,0)对称 B．

C．f(x)在(0,4)上单调递减 D．f(x

7.(★★★)定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)成中心对称且对任意的实数x都有f

A．1 B．0

8.(★★★)已知函数f(x)=2x1+a?2x(

【题型3】函数性质的综合

【典题1】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件fx+3

①函数f(

②函数f(x)

③函数f(

④函数f(x)

在上述四个命题中，正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)

【巩固练习】

1.(★★★)(多选)已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-

A．函数y=f(x)是周期函数 B

C．函数y=f(x)为R上的偶函数

2.(★★★)(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(

A．f(x

B．f(x)在

C．f(x)的图象关于直线

D．f(x)

3.(★★★)(多选)定义在R上的奇函数f(x)，满足f(1+x)=f(3-x)且

A．函数f(x)图象关于直线

B．函数f(x)

C．f(2024)+

D．设g(x)=e-|

4.(★★★★)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-