2024-2025学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试卷含详解.docx

2024-2025学年上海市南洋模范中学高二年级上学期

12月月考数学试卷

2024.12

一,填空题（本大题共有12小题,满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.

1．底面直径为2的圆锥,它的轴截面是等边三角形,则该圆锥的表面积为．

2．直线与平行,则实数.

3．直线l的倾斜角为,且,若l过点,则直线l的方程为.

4．已知数列的前n项和为,且,,则.

5．直线的方程为,当原点O到直线的距离最大时,的值为．

6．若直线过一,三,四象限,则的取值范围为.

7．已知六面体如图所示,其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成,其中,,三条侧棱两两垂直,且,若F为线段的中点,则异面直线与所成角的余弦值为.

8．已知等差数列的前n项和,若,且P,A,B,C四点共面（O为该平面外一点）,则.

9．已知P,Q分别在直线：与直线：上,且,点,,则的最小值为.

10．已知数列中,,,,若对任意的正整数n及,不等式总成立,则实数t的取值范围为.

11．如图,直四棱柱中,底面为平行四边形,,点是半圆弧上的动点(不包括端点),点是半圆弧上的动点(不包括端点),若三棱锥的外接球表面积为,则的取值范围是．

12．四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点,作一个平面与另外三个顶点所在平面平行,则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是.

二,选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.

13．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形,则该圆锥的体积为（???）

A． B． C． D．

14．已知A(－1,1,2),B(1,0,－1),设D在直线AB上,且,设C(λ,＋λ,1＋λ),若CD⊥AB,则λ的值为()

A． B．－ C． D．

15．在棱长为4的正方体中,分别是棱的中点,过作平面,使得,则点到平面的距离是（????）

A． B． C． D．

16．已知集合直线l,其中m,n是正常数,,下列结论中正确的是（???）

A．当时,S中直线的斜率为

B．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面

C．当时,S中的两条平行线间的距离的最小值为2n

D．S中所有直线均经过同一个定点

三,解答题（本大题满分78分）本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17．已知直线：,：,直线与交于点

(1)求过点且与垂直的直线的方程.

(2)点是直线上异于的一点,若为的角平分线,求点所在的直线的方程．

18．如图,在三棱锥中,若,,,点为棱上一点,且,点为线段的中点

(1)求的长度.

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

19．如图,AB是圆柱的一条母线,已知BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B,C重合的任意一点,：

（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小.

（2）求点B到平面ACD的距离.

（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周,求由旋转而成的封闭几何体的体积.

20．如图所示的几何体中,垂直于梯形所在的平面,为的中点,,四边形为矩形,线段交于点.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的正弦值.

（3）在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为？若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.

21．已知无穷实数列,,若存在,使得对任意,恒成立,则称为有界数列.

记,（,2,3…,）,若存在,使得对任意,,恒成立,则称为有界变差数列.

(1)已知无穷数列的通项公式为,,判断是否为有界数列,是否为有界变差数列,并说明理由.

(2)已知首项为,公比为实数q的等比数列为有界变差数列,求q的取值范围.

(3)已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列,记,,证明：数列为有界变差数列.

1．

【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长,再由圆锥表面积公式计算．

【详解】因为圆锥的底面直径为2,它的轴截面是等边三角形.

则圆锥的母线长,底面半径.

所以圆锥表面积为．

故答案为：．

2．

【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解.

【详解】由于直线与平行.

故,解得.

故答案为：

3．或

【分析】根据给定条件,求出直线l的斜率,再利用直线的点斜式方程求解即得.

【详解】由直线l的倾斜角为,且,得,则.

因此直线l的斜率,直线l的方程为或.

所以直线l的方程为或.

故答案为：或

4．97