考点09 平面向量（原卷版）-2024年新高考艺体生一轮复习 .docx

考点09平面向量

一．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量

二．向量的线性运算

（一）加法：求两个向量和的运算

1.三角形法则：首尾连，连首尾

2.平行四边形法则：起点相同连对角

3.运算律

交换律：＋＝＋

结合律：(＋)＋＝＋(＋)

减法

1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减

2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减

三．数乘：求实数λ与向量的积的运算

1.数乘：|λ|＝|λ|||，当λ0时，λ与的方向相同；当λ0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0

2.运算律

（1）λ(μ)＝(λμ)（2）(λ＋μ)＝λ＋μ（3）λ(＋)＝λ＋λ

3．向量共线定理

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.

4．平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

四．平面向量的坐标运算

1.向量加法、减法、数乘及向量的模

设＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).

2.向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

3．平面向量共线的坐标表示

设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0.，共线?x1y2－x2y1＝0.

4．向量的夹角

（1）已知两个非零向量和，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，则∠AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[0，π]

（2）夹角cosθ＝＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))

5．向量在平面几何中的应用

问题类型

公式表示

线平行、点共线等问题

∥?＝λ?x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0

垂直问题

⊥?·＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，为非零向量

夹角问题

cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(θ为向量，b的夹角)，其中，为非零向量

长度问题

||＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中＝(x，y)，为非零向量

五．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量，b的夹角为θ，则数量||||·cosθ叫做与的数量积(或内积)，记作·

投影

||cosθ叫做向量在方向上的投影，

||cosθ叫做向量在方向上的投影

几何意义

数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积

投影向量

如图，在平面内任取一点O，作OM＝，ON＝，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1

六．向量数量积的运算律

(1)·＝·.

(2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·.

(3)(＋)·＝·c＋·

考点一概念的辨析

【例1-1】（2023·新疆）下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，互为相反向量，则

C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，

【例1-2】（2023·安徽阜阳）下列命题中错误的有（????）

A．平行向量就是共线向量

B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量

C．同向，且，则

D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

【变式】

1．（2023·辽宁沈阳）（多选）下列命题中正确的是（????）

A．单位向量的模都相等

B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

2．（2023·安徽阜阳）（多选）给出下列命题，其中叙述错误的命题为（????）

A．向量的长度与向量的长度相等

B．向量与平行，则与的方向相同或相反

C．与方向相反

D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，